数学1.3.1函数的最大(小)值.ppt

沂南二中 高一数学 画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题： 1 、指出函数y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 2 、指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ (1) (2) x o y y 2 -1 o x 3 2 3 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值 2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值 . 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）． 注意： 1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 3.求函数的最大最小值，一定要注意定义域，也就是x的取值范围。 例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（精确 到1m） 解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m. 例3.求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1x2,则 由于2x1x26,得x2- x10,(x1-1)(x2-1)0,于是 所以，函数 是区间[2,6]上的减函数. x 0 1 2 3 5 6 4 y 0.5 1 1.5 2 因此,函数 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 . 注意：此题利用函数的单调性求最值，谨记 x 0 1 2 3 5 6 4 y 0.5 1 1.5 2 思考还有其他方法吗？ （二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 课堂练习 1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是( ) A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3 D 2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域____________. [21,39] 例1、已知函数y=-x2-2x+3且x [0，2], 求函数的最值？ 解析：y= -x2-2x+3 = -(x+1)2+4 练习1 求函数y=-x2+2x+3且x [0,2]的最 值？ 当x [0，2]函数单调减 则ymax=f(0)= 0+0+3=3 ymin=f(2)= -4-4+3=-5 所以对称轴为x=-1 含参变量的二次函数最值问题 解析： 因为函数y=x2+2ax+3 =（x+a)2+3-a2 的对称轴为x=-a。要求最值则要看x=-a 是否在区间[-2，2]之内，则从以下几个 方面解决如图： 1、轴动区间定 2、轴定区间动 例2：求函数y=x2+2ax+3在x [-2,2]时的 最值？ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅱ 当-2＜-a≤0即 0≤a ＜ 2时 f(x) max=f(2)