数学1.3.2函数的奇偶性.ppt

* 沂南二中 高一数学 观察下图，思考并讨论以下问题： (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1) f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1) f(x)=x2 f(x)=|x| 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数. y 1 2 3 4 x 0 1 2 3 -1 -2 -3 y 1 2 3 4 x 0 1 2 3 -1 -2 -3 1．偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示. 观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？ f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数. f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 2．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意： （1）、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性. (3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立. （2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 函数奇偶性的判定方法 ①图象法: 若函数图象关于原点成中心对称,则其函数是奇函数;若函数图象关于y轴对称,则其函数是偶函数。 ②定义法: 先看定义域是否关于原点对称,若不是,则是非奇非偶函数;若是,再看 f(-x)与f(x)的关系。 注：奇偶性的判断方法有图象法,定义法。 证明函数奇偶性一定要用定义法。 归纳总结 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x) ∴f(x)偶函数 (2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x) 即f(-x)=-f(x) ∴f(x)奇函数 (3)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) 即f(-x)=-f(x) ∴f(x)奇函数 (4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=f(x) ∴f(x)偶函数 3.用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)先求定义域，看是否关于原点对称； (2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立. 课堂练习 判断下列函数的奇偶性： 4.奇偶函数图象的性质 （1）奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数. （2）偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数. 偶函数在对称区间(-b,-a)与(a,b)上增减性相反。 5.奇偶性与单调性的关系: 奇函数在对称区间(-b,-a)与(a,b)上增减性相同; 例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象. x y 0 解：画法略 相等 若函数y=f(x)是奇函数呢？ 思考 x y 0 相等 *