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整数、有理数、实数 1、整数及带余除法 b∣a : a除以b整除。a=bq (b≠0，q为整数) a/b是整数的充分必要条件是b≠0，且b∣a。 整除具有如下性质： 1.如果c∣b, b∣a,则c∣a. 2.如果c∣b, c∣a.则对任意整数m，n有c∣(ma+nb). 设a,b是两个整数，其中b＞0，则存在整数q，r使得 a=bq+r,0≤rb 若b0，则b∣a的充分必要条件是带余除法中余数r=0. 2、质数、合数及算数基本定理 一个大于1的整数，如果它的正因素只有1和它本身，称这个数为质数(或素数)。如果一个大于1的整数，如果它的正因素除了1和它本身，还有其他正因素，则称这个整数为合数(或复合数)。 除了最小质数2是偶数外，其余质数都是奇数。 任一大于1的整数都能表示成质数的乘积且这样的分解式式唯一的。 a=p1p2…pn a1,p1≤p2≤…≤pn 3、最大公因数和最小公倍数 a,b的最大公因数记为(a,b).若(a,b)=1,则称为a,b互质。 a,b的最小公倍数记为[a,b]. a,b的所有公倍数就是[a,b]的所有倍数。若a∣d且b∣d,则[a,b]∣d. [a,b]= ,特别地，当(a,b)=1时，有[a,b]=ab. 若a∣bc,且(a,b)=1，则a∣c. 在三个连续的整数中,必有一个是3的倍数,两个连续的整数中,必有一个是2的倍数. 4.有理数 整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写为的形式(n≠0，m,n均为整数)，若(m,n)=1，称为既约分数。 5.实数 对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，令[x]=x-{x},称[x]是x的整数部分，{x}是x的小数部分。 整式、分式 1.一元多次n项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,n为非负整数，a0,a1,a2…an均为实数,an≠0. 若f(x)的所有系数均为0，称为零多项式。零多项式不规定次数记为f(x)≡0 两个多项式的和差积仍是一个多项式，但商不一定是多项式。 g(x)∣f(x)的充要条件是带余除法中余式为0. 2.余式定理及一次因式与根的关系 用一次多项式x-a去除多项式f(x),所得的余式是一个常数，这个常数值等于函数值f(a). a是f(x)的根(即f(a)=0)的充要条件是(x-a)∣f(x)。 3.因式分解 (a±b)2=a2±2ab+b2 (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a+b)(a-b)=a2-b2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 平均值、绝对值 1.平均数 设x1x2…xn为n个正数，算数平均值= = 设x1,x2…xn为n个正实数，几何平均值xg= = ≥,当且仅当x1=x2=…=xn时，等号成立(用于解函数最值问题)。 2.绝对值 |a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。　|a|= 两个重要性质： 1.|ab|=|a||b|; |a/b|=|a|/|b|　　 2.|a|＜|b| 可逆，|b||a|　　|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。　　|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成立，ab≤0时右边等号成立。　　(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)　 |a|≤m-m≤a≤m|a|≥m a≥m或a≤-m|a|=ma=±m = |a| 方程与不等式 1.一元二次方程 一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x= 其中=b2-4ac称为一元二次方程根的判别式 0时，方程无实根； =0时，方程有两个相等的实根； 0时，方程有两个不等的实根。 2.韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0中系数a,b,c不全为固定值时，考虑两根的关系既要考虑判别式，也要考虑韦达定理。 3.一元二次不等式 数列 1.概念 an与n的关系用公式表示就是通项公式。 an=sn-sn-1, 再带入a1，看是否符合。 2.等差数列 数列c,c,…c是公差d=0的等差数列； 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d; 等差数列的前n项和公式sn= a,b,c成等差数列b= ; 若sn是等差数列的前n项和，则sn,s2n-sn,s3n-s2n…仍成等差数列； 若{an}是等差数列，如果m+n=s+t,则，am+an=as+at. 3.等比数列 数列c,c,…c是公差q=1等比数列; 等比数列的通项公式an=a1qn-1; 等比数列的前n项和公式sn= a,b,c成等比数列b2=ac 若{an}是等比数列，则sn,s2n-sn,s3n-s2n…也