数学欣赏_06数学之妙-a数学归纳法原理.pptx

Mathematics Appreciation数学欣赏数学欣赏F数学之妙The Consummate skill of Mathematics名人说…… 从十分清楚明白、根本无法怀疑的东西、最简单最容易认识的对象开始，一点一点逐步上升到对复杂对象的认识。 ——R. DESCARTES名人说…… 数学是什么？大致说来，数学和其它科学一样，它的发展基于两个原因：（一）奇怪的现象；（二）数学结果的应用。——陈省身数学之妙 出神入化数学，虽然极其抽象，但却被广泛而有效的应用于人类社会的各个领域，其根本原因不仅是其对象为万物之本，更在于其思想方法的深刻性与普适性. 由于人类生理的原因，人类能够准确认识的对象只能是有限的、静止的、平直的、离散的，但现实中人们又无法避免无限的、运动的、弯曲的、连续的. 数学方法为人类认识这些对象提供了有效的可靠手段，奇妙无比，威力无限. 1243数学归纳法原理 七桥问题与图论 抽屉原理与聚会认友 数学与密码 In this ChapterSZU第一节 数学归纳法原理 MainPoints理论：基础、基本形式与变形应用：有效应用与不当应用南北朝时，一位印度法师将一部名为《百喻经》的寓言式图书带到中国并翻译成汉语。其中有一篇题为《三重楼寓》的寓言……数学归纳法及其理论基础理论基础皮亚诺自然数公理皮亚诺，G．(Peano，Giuseppe)1858年8月27日生于意大利库内奥(Cuneo)附近的斯皮内塔(Spinetta)村；1932年4月20日卒于都灵(Turin)．数学、逻辑学．皮亚诺自然数公理：自然数集N是指满足以下条件的集合：(1)?N中有一个元素，记作1；(2)?N中每一个元素n都能在N中找到一个元素作为它的后继者n+，1不是任何元素的后继者；(3) 不同元素有不同的后继者；（4）归纳公理：N的任一子集M，如果1∈M，并且只要n在M中就能推出n的后继者n+也在M中，那么M = N.【数学归纳法原理】设Pn是与自然数相关的一种命题，如果(1) 当n=1时命题P1是成立的；(2) 假设当n=k时命题Pk是成立的，可以证明当n=k+1时命题Pk+1也是成立的。那么命题Pn对所有自然数n都是成立的。【数学归纳法原理变形1】设Pn是与自然数相关的一种命题，如果当n = k0时命题Pk0是成立的；假设当n = k (k ≥ k0) 时命题Pk是成立的，可以证明当n=k+1时命题Pk+1也是成立的。那么命题Pn对所有自然数n ≥ k0都是成立的。例如：n 边形内角和问题。【数学归纳法原理变形2】设Pn是与自然数相关的一种命题，如果当n =1时命题P1是成立的；假设当1 ≤ n ≤ k时命题Pn是成立的，可以证明当n=k+1时命题Pk+1也是成立的。那么命题Pn对所有自然数n都是成立的例如：有两堆棋子，数目相等。两人玩耍，每人每次可以从其中一堆中取任意多颗棋子，但不能同时从两堆中提取，规定取得最后一颗棋子者为胜。求证：后取者可以必胜。【数学归纳法原理变形3】设Pn是与自然数相关的一种命题，如果当n = 1，2，…, k0时命题Pn是成立的；假设当n = k时命题Pk是成立的，可以证明当n=k+k0时命题Pk+k0也是成立的。 那么命题Pn对所有自然数n都是成立的。例如:求证：方程x+2y=n的非负整数解的组数为 ；一般地，方程x+my=n的非负整数解的组数为其中 表示商 的整数部分。 【数学归纳法原理变形4——跷跷板归纳法 】设An ，Bn是与自然数相关的两种命题，如果 当n = 1时命题A1是成立的； 假设当n = k时命题Ak是成立的，可以证明命题Bk也是成立的； 假设当n = k时命题Bk是成立的，可以证明当n=k+1时命题Ak+1也是成立的。 那么命题An ，Bn对所有自然数n都是成立的。 例如: 假设数列{an}满足：a2n = 3n2, a2n-1=3n(n-1)+1, n=1,2,3, …。Sm=a1+a2+…+am. 求证：【数学归纳法原理变形5——逆向归纳法 】设Pn是与自然数相关的一种命题，如果 存在一个递增的无限自然数序列{nk},使命题 Pnk成立； 假设当n = m时命题Pm是成立的，可以证明当n=m-10时命题Pm-1也是成立的。那么命题Pn对所有自然数n都是成立的.例如: 算术平均与几何平均不等式 归纳法在几何上的一个应用——两色定理的证明两色定理：在一张纸上随意画一些直线，这些直线把这张纸分割成若干个区域。把这假想成一个世界地图，要对其进行图色以便区分各个不同的国家，只需要两种颜色（比如红色与黄色）就够了。 两色定理的证明： 我们考虑画出这幅地图所用直线的条数：（1）如果只用一条直线，那么只能分出两个国家，两种颜