数学欣赏_07数学之奇_a实数系统.pptx

Mathematics Appreciation数学欣赏数学欣赏G数学之奇The Surprise of Mathematics数学之奇 鬼斧神工奇异，指数学中的方法、结论或有关发展出乎意料，使人既惊奇，又赞赏与折服.数学中的奇异性源于人类感知能力的局限，其根源在于对无穷的认识：人类只能感知有限和局部的事物，无法感知、认识和对比无穷、超微观、超宏观的现象. 奇异不仅体现在数量对比上，也体现在空间认识中。徐利治说：“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美. ”实数系统河图、洛书与幻方三种几何并存123?本章内容第一节 实数系统希尔伯特说…… 没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其他概念能像无穷那样需要加以阐明.实数集有理数集In This Section一家人数系扩充概述连续统假设Hilbert 的旅馆德国著名数学家大卫?希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。……1数系扩充概述1. 实数系扩充历史自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前。 1. 实数系扩充历史分数（有理数）是“分”出来的，早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数。1. 实数系扩充历史无理数是“推”出来的，公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”。毕达哥拉斯(约公元前560——480年）1. 实数系扩充历史 “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑。1. 实数系扩充历史负数是“欠”出来的，它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则。刘徽（公元250年前后）正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际意义的量”，称之为“实数”，构成实数系统。实数系统是一个没有缝隙的连续系统，任何一条线段的长度都是一个实数。2. 复数系的产生与发展复数是“算”出来的。 复数最初出现于解二次方程， 1484年，法国数学家舒开（Chuquet, 1445--1500）在其《算数三篇》中，解方程式 4＋x2＝3x，得根 x＝3/2±√(9/4-4)， 他声明这个根是不可能的。2. 复数系的产生与发展意大利波洛尼亚大学数学教授卡达诺对于复数的建立起到重要作用。卡达诺(Cardano,1501--1576)2. 复数系的产生与发展1545年，卡达诺在《大衍术》中写到：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了。”2. 复数系的产生与发展1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” （“想象中(imaginary)的数”）。笛卡尔(R.Descartes,1596--1661)2. 复数系的产生与发展1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i” 表示√(-1)，称为虚数单位。欧拉(L.Euler,1707~1783)2. 复数系的产生与发展在此之前的1748年，欧拉给出了著名公式 eix ＝ cosx + i sinx发现了复数与三角函数的关系。2. 复数系的产生与发展1799年德国数学家高斯已经知道复数的几何表示；1831年，他用数对来代表复数平面上的点：(a,b)代表 a+bi 。高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)yOx2. 复数系的产生与发展(a,b) ~ a+bi ba2. 复数系的产生与发展18世纪后期，随着复数与三角函数关系的揭示，复数的平面坐标的表达等，复数的意义逐渐被明确；19世纪上半叶，复变函数理论建立并得到广泛应用。2. 复数系的产生与发展1873年，我国数学家华衡芳(1833~1902)将意大利数学家邦贝利（Bangbeili 1530~1590） 《代数术》翻译为中文，将 “虚数”引入中国。 复数系是保持四则运算基本性质的最大数系3. 超复数的产生1843年爱尔兰数学家哈密尔顿 发现有序四元实数组完全可以组成一个数系——叫“四元数”，这是一个乘法不满足交换律的数系。哈密尔顿 （Hamilton, William Rowan, 1805—1865）3. 超复数的产生1847年，英国数学家凯莱进一步发现了八元数。这个数系的乘法不满足交换律，也不满足结合律。凯莱(Cayley,Arthur. 1821-1895)自然数N ?整数Z?有理数Q ?实数R?复数（二元）C?四元数（乘法不可交换）?八元数（超复数）（乘法不可交换，也不能结合）4. 数系扩充的科学道理逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色： 逆运算的运