数学：2.2.1《综合法和分析法》.ppt

定义：从证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为只需判定一个明显成立的条件（已知条件，定义、定理、公理）为止。 * * * * * 2.2 直接证明与间接证明 综合法和分析法 例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 因为b2+c2 ≥2bc,a0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 证明: 直接证明法1、——综合法 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立. 综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”，其基本思想是：由已知推可知，逐步推出未知.若用P表示已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，Q表示所要证明的结论，则综合法的推理过程用流程框图可怎样表示？ … 例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形． 引例：基本不等式： (a0,b0)的证明. 证明: 因为; 所以 所以 所以 成立 证明:要证; 只需证; 只需证; 只需证; 因为; 成立 所以 成立 直接证明法2、——分析法 【分析法】 从结论出发，寻找结论成立的充分条件 直至最后，把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件。 要证：?? 只要证：?? 只需证：?? ??显然成立 上述各步均可逆 所以 结论成立 要证：?? ?? ?? ?? ?? 所以 结论成立 格 式 分析法，又叫“逆推证法”或“执果索因法”，其基本思想是：由未知探需知，逐步推向已知. 若用Q表示所要证明的结论，则分析法的推理过程用流程框图可怎样表示？ … 显然成立的条件 例4 求证： . 【例5】 如图： 过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC 的垂线，垂足为F。 求证： A S B C E F 例6 已知sinθ＋cosθ＝2sinα， sinθ·cosθ＝sin2β，求证： 直接证明（数学理论） 上述两种证法有什么异同？ 都是直接证明 证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止 综合法 相同 不同 证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止 分析法 【探究1】将9个球分别染成红色或白色无论怎样染色，至少有5个球同色的。正确吗？ 间接证明法——反 证 法 反证法： 假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立. 思考1：用反证法证题的核心问题是什么？ 在正确的推理下得出矛盾. 思考2：在反证法应用中，矛盾的构设有哪几种情形？ （1）与已知条件矛盾； （2）与假设矛盾； （3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （4）与客观事实矛盾. 例7， 已知 a ≠0 ,证明关于 x 的方程 a x = b 有且只有一个根。 用反证法证题的一般步骤 （1）假设命题的结论不成立，即假设 结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证, 得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不成立，从而肯 定命题的结论正确。 * * * * * * *