试题君之每日一题君高二理数人教A版选修2-1（12月16-31日）Word版含解析.doc

12月16日 共线向量与共面向量 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆ （1）设，是空间中两个不共线的向量已知，，且A，B，D三点共线，则实数_________； （2）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若点P在平面ABC内，且，则实数【参考答案】（1）；（2）． 【试题解析】，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 所以，解得（） ， 即， 由共面向量定理可得，故且， 利用此结论可得，解得，使得成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形进行化简，从而得到，即与，使得成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值． （2）空间A，B，C三点共线的充要条件为，且．但很容易忽略“O为直线外空间任意一点”这一条件，当O在直线上时，O可以与A点重合，这时，其前面的系数可以取任意实数，这时不一定有． （3）要证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．同时应注意： ①空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量不一定共面； ②向量p与a，b共面的充要条件是在向量a，b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立； ③若点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，则且，这 1．已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若，则_________． ．已知向量，不共线，，，试判断与是否共线； ．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若，试判断向量，，是否共面，并判断点P是否在平面ABC内； 1． 【解析】由于A，B，C三点共线，所以存在实数，使得，即， 所以，所以，，所以所以． ．【解析】设，由，可得， 所以，显然该方程组无解，所以不存在实数，使得，故向量与不共线． ．【解析】因为，所以，即，所以向量，，共面．因为，，有共同的起点P，且A，B，C三点不共线，所以P，A，B，C共面，即点P在平面ABC内． 名校简介之复旦大学 校训：博学而笃志，切问而近思 位于上海市，是中央部署，教育部与上海市共建的首批全国重点大学．1905年，原名复旦公学，是中国人自主创办的第一所高等院校．．． 12月17日 共线、共面向量定理的应用 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆ 如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，．求证：四边形EFGH是梯形． 【参考答案】详见试题解析． 【试题解析】因为E，H分别是边AB，AD的中点，所以，， 所以． 又，，所以，， 所以， 所以且， 又点E不在FG上，所以四边形EFGH是梯形． 【名师点睛】要证明四边形EFGH为梯形，必须证明两点：①；②，二者缺一不可． 同时还必须指明点E不在FG上，否则E，F，G，H四点可能共线．，使得成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形进行化简，从而得到，即与共线．反之，当两个空间向量共线时，即存在实数，使得成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值． 1．已知，是异面直线，，，，分别是，的中点．证明：． 2．已知斜三棱柱，设，，，在面对角线和棱上分别取点、，使，，求证：向量，，共面． 1．【解析】因为，，且，是异面直线， 所以在平面内存在向量，使得，，且两个向量不共线． 因为，分别是，的中点， 所以， 所以，，共面，所以或． 若，则，必在平面内，这与已知，是异面直线矛盾．故． 2．【解析】画出三棱柱的草图（图略）， 因为， ， 所以， 又向量和不共线，所以向量，，共面．  在长方体中，已知，，，为侧面的中心，为的中点，则（1）___________；（2）___________；（3）___________． 【参考答案】（）（）． 【试题解析】，设，，，则，，． 显然，在长方体中，，，． （1）． （2）． （3） ． 【名师点睛】在几何体中求空间向量的数量积时，①充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；③利用数量积的定义求解即可．注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角． 1．已知空间四面体的每条棱长都等于，点分别是的中点，则等于 A．B．C．D． ．如图，已知四面体每条棱长都等于，点，分别是，的中点，则下列向量的数量积等于的是 A．B．C．D． 第2题图 第3题图 3．中，，，，，分别为，的中点，则________． 1．A 【解析】由题意知，故． ．C 【解析】由条件可知，A不符