高二数学北师大版必修5学案：读本第三章不等式Word版含解析.docx

1　实数大小比较的方法知多少实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，广泛灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考． 1．利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法．例1　已知abc，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．解　a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)＝(a－b)(a－c)(b－c)．∵abc，∴a－b0，a－c0，b－c0，∴(a－b)(a－c)(b－c)0.∴a2b＋b2c＋c2aab2＋bc2＋ca2.2．利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若a，b都是正数，则ab?1；ab?1；a＝b?＝1.(2)若a，b都是负数，则ab?1.ab?1；a＝b?＝1.作商比较法的基本步骤：①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．例2　设a0，b0，且a≠b，试比较aabb，abba，三者的大小．解　.当ab0时，1，a－b0，0，∴0＝1，∴aabb(ab).当0ab时，01，a－b0，0.∴0＝1，∴aabb.所以，不论ab0还是0ab，总有aabb.同理：abba.综上所述，aabbabba.3．构造中间值比较实数大小方法链接：由传递性知ab，bc?ac，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较．例3　设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　)A．abc B．acb C．bac D．bca解析　a＝log3πlog33＝1，∴a1，b＝log2＝log23log24＝1，∴b1，c＝log3＝log321，∴ab，ac.又b＝log2＝log23，∴bc，∴abc.答案　A4．特殊值法比较实数大小方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案．这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解．一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向．例4　若0a1a2,0b1b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是(　)A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1 D.解析　特殊值法．令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，∵，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.(注：本题还可以利用作差法比较大小，此答从略)答案　A5．利用函数单调性比较实数大小方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断．例5　当0ab1时，下列不等式中正确的是(　)A．(1－a)(1－a)b B．(1＋a)a(1＋b)bC．(1－a)b(1－a) D．(1－a)a(1－b)b解析　对于A，∵0ab1，∴函数y＝(1－a)x为R上的减函数，∵b，∴(1－a)(1－a)b，A错误；对于B，∵函数y＝(1＋a)x为R上的增函数，∴(1＋a)a(1＋a)b，又函数y＝xb在(0，＋∞)上单调递增，∴(1＋a)b(1＋b)b，从而(1＋a)a(1＋b)b，B错误；对于C，∵函数y＝(1－a)x为R上的减函数，且b，∴(1－a)b(1－a)，C错误；对于D，∵函数y＝(1－a)x为R上的减函数，且ab，∴(1－a)a(1－a)b，又函数y＝xb为(0，＋∞)上的增函数，且1－a1－b0，从而(1－a)b(1－b)b，所以(1－a)a(1－b)b，D正确，故选D.答案　D6．借助函数的图像比较实数大小方法链接：借助函数的图像比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图像，从图像上找出问题的结论．例6　设a、b、c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则(　)A．abc B．cba C．cab D．bac解析　由函数y＝2x，y＝x，y＝log2x，y＝logx的图像(如图所示)知0ab1c，故选A.答案　A2　解一元二次不等式需“三看”不少同学解一元二次不等式时常出错，感到无法可依．鉴于此，本文从教学过程中，总结了切实可行的“三看”法．一看：二次项系数若二次项系数是实数时，对于二次项系数是负数的不等式，先将其化为正数．如解不等