高二数学北师大版必修5学案：第三章不等式章末复习课Word版含解析.docxVIP

题型一　“三个二次”之间的关系对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图像及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图像及与x轴的交点)．例1　设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1,4]，求实数a的取值范围．解　M?[1,4]有两种情况：其一是M＝?，此时Δ0；其二是M≠?，此时Δ＝0或Δ0，下面分三种情况计算a的取值范围．设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，(1)当Δ0时，－1a2，M＝??[1,4]；(2)当Δ＝0时，a＝－1或2；当a＝－1时，M＝{－1} [1,4]；当a＝2时，M＝{2}?[1,4]．(3)当Δ0时，a－1或a2.设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1x2，那么M＝[x1，x2]，M?[1,4]?1≤x1≤x2≤4?即解得2a，∴M?[1,4]时，a的取值范围是.跟踪训练1　若关于x的不等式ax2－6x＋a20的解集是(1，m)，则m＝________.答案　2解析　因为ax2－6x＋a20的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m1??题型二　恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下几种(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般把知道取值范围的变量看作主元．(2)分离参数法：若f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)min.若f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)max.(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化．例2　设不等式2x－1p(x2－1)对满足|p|≤2的一切实数p的取值都成立，求x的取值范围．解　令f(p)＝2x－1－p(x2－1)＝(1－x2)p＋2x－1，p∈[－2,2]，可看成是一条线段，且使f(p)0对|p|≤2的一切实数恒成立．所以即?所以x.跟踪训练2　f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)0，则a的取值范围是________．答案　(－4,0]解析　(1)当a＝0时，f(x)0恒成立，故a＝0符合题意；(2)当a≠0时，由题意得：??－4a0，综上所述：－4a≤0.题型三　简单的线性规划问题关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如：(斜率)，(距离)等．求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值时，只需把直线ax＋by＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z随之增大(或减少)(b0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解步骤为①作出可行域；②作出直线l0：ax＋by＝0；③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．例3　已知变量x，y满足，求z＝2x＋y的最大值和最小值．解　如图，阴影部分为不等式组所表示的可行域．设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．作一组与l0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l移动到l2，即过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.跟踪训练3　某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张？才能使得总用料面积最小．解　设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图．在一族平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线，过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，∴最优解为点(2,1)．∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．题型四　利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．例4　设f(x)＝.(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值；解　(1