新步步高高考数学（江苏专用理科）大一轮复习讲义Word文档：第14章系列4选讲14.1课时2Word版含答案.docVIP

课时2　圆的进一步认识 1．圆周角与圆心角定理 (1)圆心角定理：圆心角的度数等于其所对弧的度数． (2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半． 推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径)． 2．圆的切线的性质及判定定理 (1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点． 推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心． 3．切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等． 4．弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半． 5．与圆有关的比例线段 定理名称 基本图形 条件 结论 应用 相交弦定理 弦AB，CD相交于圆内点P (1)PA·PB＝PC·PD； (2)△ACP∽△BDP (1)在PA，PB，PC，PD四线段中知三求一； (2)求弦长及角 割线定理 PAB，PCD是⊙O的割线 (1)PA·PB＝PC·PD； (2)△PAC∽△PDB (1)求线段PA，PB，PC，PD； (2)应用相似求AC，BD 切割线定理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线 (1)PA2＝PB·PC； (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA，PB，PC知二可求一； (2)求解AB，AC 切线长定理 PA，PB是⊙O的切线 (1)PA＝PB； (2)∠OPA＝∠OPB (1)证明线段相等，已知PA求PB； (2)求角 6.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆内接四边形的对角互补． (2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆． 1．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：AP·BC＝AC·CP. 证明　因为PC为圆O的切线，所以∠PCA＝∠PBC， 又∠CPA＝∠BPC，故△CAP∽△BCP， 所以＝，即AP·BC＝AC·CP. 2．(2015·重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长． 解　首先由切割线定理得PA2＝PC·PD，因此PD＝＝12，CD＝PD－PC＝9，又CE∶ED＝2∶1， 因此CE＝6，ED＝3，再由相交弦定理AE·EB＝CE·ED，所以BE＝＝＝2. 3．如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，求EF的长． 解　∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB， ∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴2＝，∴EF＝3. 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，求DE的长． 解　在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°.∵AB＝20， ∴AC＝10，BC＝10. ∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°. ∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5. 由切割线定理得DC2＝DE·DB， 即(5)2＝15DE， ∴DE＝5. 题型一　圆周角、弦切角和圆的切线问题 例1　(2015·课标全国Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E. (1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； (2)若OA＝CE，求∠ACB的大小． (1)证明　连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt △AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 连结OE，则∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°， 所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线． (2)解　设CE＝1，AE＝x， 由已知得AB＝2，BE＝. 由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝，即x4＋x2－12＝0.可得x＝，所以∠ACB＝60°. 思维升华　(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角． 　(1)如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，若∠P＝70°，求∠ACB的大小． (2)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，且满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长． 解　(1)如图所示，连结OA，OB， 则OA⊥PA，OB⊥PB. 故∠AOB＝110°，