新步步高高考数学（江苏专用理科）大一轮复习讲义Word文档：第14章系列4选讲14.3课时2Word版含答案.docVIP

课时2　参数方程 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) (t为参数) 圆 x2＋y2＝r2 (θ为参数) 椭圆 ＋＝1(ab0) (φ为参数) 双曲线 －＝1 ，(a0，b0) (φ为参数) 抛物线 y2＝2px (p0) (t为参数) 1．直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率． 解　将直线l的参数方程化为普通方程为 y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3. 2．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值． 解　直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－； 直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2. ∵l1与l2垂直， ∴(－)×(－2)＝－1?k＝－1. 3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求PF的值． 解　将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知PF＝3－(－1)＝4. 4．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)，求直线l与曲线C相交所截的弦长． 解　曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1， 直线l的普通方程为3x－4y＋3＝0. 圆心到直线的距离d＝＝. ∴直线l与曲线C相交所截的弦长为2＝. 题型一　参数方程与普通方程的互化 例1　(1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程． (2)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(s为参数)，曲线C的参数方程为(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求AB的长． 解　(1)圆的半径为，记圆心为C(，0)，连结CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ， yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)． 所以圆的参数方程为(θ为参数)． (2)直线l的普通方程为x＋y＝2，曲线C的普通方程为y＝(x－2)2(y≥0)，联立两方程得x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以AB＝. 思维升华　消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围． 　(1)求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数． (2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值． 解　(1)将消去参数t得直线x＋y－1＝0； 将消去参数α得圆x2＋y2＝9. 又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． (2)直线l的普通方程为x－y－a＝0， 椭圆C的普通方程为＋＝1， ∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)， 则3－a＝0，∴a＝3. 题型二　参数方程的应用 例2　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)． (1)求直线l和圆C的普通方程； (2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 解　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点， 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4， 解得－2≤a≤2. 思维升华　已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等． 　在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，求曲线C1与C2的交点坐标． 解　曲线C1的普通方程为x2＋y2＝5(x≥0，y≥0)． 曲线C2的普通方程为x－y－1＝0. 解方程组得 ∴曲线C1与C2的交点坐标为(2,1)． 题型三　极坐标方程和参数方程的综合应用 例3　(2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：ρ＝2cos θ. (1)求