新步步高高考数学（江苏专用理科）大一轮复习讲义Word文档：第14章系列4选讲14.4课时1Word版含答案.docVIP

课时1　绝对值不等式 1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集： 不等式 a0 a＝0 a0 |x|a (－a，a) ? ? |x|a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c； (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． (2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 1．(2015·山东改编)解不等式|x－1|－|x－5|2的解集． 解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)2， ∴－42，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1x5时，原不等式可化为x－1－(5－x)2， ∴x4，∴1x4， ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围． 解　∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解， 可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 3．(2014·重庆改编)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． 解　设y＝|2x－1|＋|x＋2| ＝ 当x－2时，y＝－3x－15； 当－2≤x时，5≥y＝－x＋3； 当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2. 解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，]. 题型一　绝对值不等式的解法 例1　(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 解　(1)当a＝1时， f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10. 当x≤－1时，不等式化为x－40，无解； 当－1x1时，不等式化为3x－20，解得x1； 当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x2. 所以f(x)1的解集为. (2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)， △ABC的面积为(a＋1)2. 由题设得(a＋1)26，故a2. 所以a的取值范围为(2，＋∞)． 思维升华　解绝对值不等式的基本方法有： (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 　(1)(2014·广东改编)解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集． (2)(2014·湖南改编)若关于x的不等式|ax－2|3的解集为{x|－x}，求a的值． 解　(1)当x－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3； 当－2≤x1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2. 综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}． (2)∵|ax－2|3，∴－1ax5. 当a0时，－x，与已知条件不符； 当a＝0时，x∈R，与已知条件不符； 当a0时，x－，又不等式的解集为{x|－x}，故a＝－3. 题型二　利用绝对值不等式求最值 例2　(1)(2014·江西改编)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值． (2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值． 解　(1)∵x，y∈R， ∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1， |y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2， ∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3. ∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3. (2)|x－2y＋1