新步步高高考数学（浙江文理通用）大一轮复习讲义Word文档：第8章平面解析几何8.9课时3Word版含答案.docVIP

课时3　定点、定值、探索性问题 题型一　定点问题 例1　已知椭圆＋＝1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点． 解　(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2， 又a2＝b2＋c2，所以a2＝3. 所以椭圆的方程为＋y2＝1. (2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)， N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)， 由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)， ∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1. 同理由＝λ2知λ2＝－1. ∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，① 联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0， ∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)0，② 且有y1＋y2＝，y1y2＝，③ ③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0， ∴(mt)2＝1， 由题意mt0，∴mt＝－1，满足②， 得l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点． 思维升华　圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 　已知椭圆C过点M，点F(－，0)是椭圆的左焦点，点P，Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一定点A. (1)解　设椭圆C的方程为 ＋＝1 (ab0)． 由已知，得解得 ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由椭圆C的标准方程为＋＝1， 可知|PF|＝ ＝＝2＋x1， 同理|QF|＝2＋x2， |MF|＝＝2＋. ∵2|MF|＝|PF|＋|QF|， ∴2＝4＋(x1＋x2)， ∴x1＋x2＝2. ①当x1≠x2时，由 得x－x＋2(y－y)＝0， ∴＝－·. 设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ＝＝－，得线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)， 即(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一定点A. ②当x1＝x2时，P，Q或P， Q. 线段PQ的垂直平分线是x轴，也过点A. 综上，线段PQ的垂直平分线过定点A. 题型二　定值问题 例2　已知椭圆C：＋＝1 (ab0)的离心率是，其左，右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2. (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：x＝2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，求证：|DE|·|DF|为定值． (1)解　由已知，可得 解得a＝2，b＝. 故所求椭圆方程为＋＝1. (2)证明　由题意可得A1(－2,0)，A2(2,0)． 设P(x0，y0)，由题意可得－2x02， ∴直线A1P的方程为y＝(x＋2)，令x＝2得y＝，即|DE|＝，同理，直线A2P的方程为y＝(x－2)，令x＝2， 得y＝，即|DF|＝， 所以|DE|·|DF|＝× ＝＝， 将y＝代入上式，得|DE|·|DF|＝3， 故|DE|·|DF|为定值3. 思维升华　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 　如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l. (1)求动点Q的轨迹C的方程； (2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由． 解　(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP， ∴RQ是线段FP的垂直平分线． ∵点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|， 又|PQ|是点Q到直线l的距离， 故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x0)． (2)弦长|TS|为定值．理由如下： 取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝， 则|TS|＝2＝2， 因为点