(高等代数定理汇总前三章.docxVIP

第一章多项式定理1对于数域上的任意两个多项式，，其中，的充分必要条件是除的余式为零.定理2对于中任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式，使.定理3 中两个多项式，互素的充分必要条件是有中的多项式，使.定理4 如果=1，且，那么. 推论 如果，，且，那么.定理5 如果是一个不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，，由一定推出或者.因式分解及唯一性定理数域上每一个次数的多项式都可以唯一地被分解成数域上一些不可约多项式的乘积.定理6如果不可约多项式是的重因式，那么它是微商的重因式.推论1如果不可约多项式是的重因式，那么是，， ，的因式，但不是的因式.推论2不可约多项式是的重因式的充分必要条件为是与的公因式.推论3 多项式没有重因式的充分必要条件是与互素.定理7（余数定理）用一次多项式去除多项式，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值. 推论 是的根的充分必要条件是.定理8中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.定理9如果多项式，的次数都不超过，而它们对个不同的数，， ，有相同的值，即，，那么.代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理12设是一个整系数多项式，而是它的一个有理根，其中，互素，那么必有，.特别地，如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子.定理13（艾森斯坦判别法）设是一个整系数多项式.如果有一个素数，使得；，， ，；，那么在有理数域上是不可约的.第二章 行列式定理1对换改变排列的奇偶性.推论 在全部级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个定理2任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.行列式性质1 行列互换，行列式不变. 性质2 如果行列式一行为零，那么行列式为零. 性质3 如果某一行是两组数的和，那么行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应行一样. 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号.定理3设，表示元素的代数余子式，则下列公式成立：用连加号简写为定理4（克拉默法则）如果线性方程组的系数矩阵的行列式，即系数行列式，那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为，， ，，其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项，， ，所组成的矩阵的行列式.定理5如果齐次线性方程组的系数矩阵的行列式，那么它只有零解.换句话说，如果方程组有非零解，那么必有.第三章 线性方程组定理1在齐次线性方程组中，如果，那么它必有非零解.定理2设，，，与，， ，是两个向量组.如果向量组，，，可以经，， ，线性表出；，那么向量组，，，必线性相关. 推论1 如果向量组，，，可以经向量组，， ，线性表出，且，，，线性无关，那么. 推论2 任意个维向量必线性相关. 推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定理4矩阵的行秩与列秩相等.定理5矩阵的行列式为零的充分必要条件是的秩小于. 推论 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式等于零.定理6 一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.