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习题10-1 二重积分的概念与性质 1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）与，其中积分区域是圆周所围成； （2）与，其中是三角形闭区域，三顶点分别为，，； 2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1），其中； （2），其中. （3）.，其中 解 ，积分区域的面积等于，在上的最大值 ，最小值 故 习题10-2 二重积分的计算法 1.计算下列二重积分： （1），其中； （2），其中是顶点分别为，和的三角形闭区域。 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1），其中 （2），其中是由直线，及所围成的闭区域。 3.化二重积分为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域是： （1）由直线及抛物线所围成的闭区域； （2）由直线，及双曲线所围成的闭区域。 4.求由曲面及所围成的立体的体积。 5.画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域是： （1）； （2） 6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1）； （2） 7.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： （1）； （2） 8.利用极坐标计算下列各题： （1），其中是由圆周所围成的闭区域。 （2），其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。 9.选用适当的坐标计算下列各题： （1），其中是由直线，，，所围成的闭区域。 （2），其中是圆环形闭区域. （3）计算积分 解 习题10-3 三重积分 1.化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是： （1）由曲面及平面所围成的闭区域； （2）由曲面及所围成的闭区域； 2.计算，其中是由曲面及平面，和所围成的闭区域。 3.计算，其中为球面及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域。 4.计算，其中是由锥面与平面所围成的闭区域。 5.利用柱面坐标计算下列三重积分： （1），其中是由曲面及所围成的闭区域； （2），其中是由曲面及平面所围成的闭区域； 6.选用适当的坐标计算下列三重积分： （1），其中是柱面及平面，，，所围成的在第一卦限内的闭区域； （2），其中是由曲面及平面所围成的闭区域； 7.计算，其中是由所围成。 解 由于关于坐标面都对称，故 原式 8.求上、下分别为球面和抛物面所围成立体的体积。 习题10-4 重积分的应用 1.求球面含在圆柱面内部的那部分面积。 2.设薄片所占的闭区域是介于两个圆，之间的闭区域，求均匀薄片的质心： 3.已知均匀矩形板（面密度为常量）的长和宽分别为和，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。 4.设均匀柱体密度为，占有闭区域，求它对于位于点处的单位质量的质点的引力。 复习题十 1.计算下列二重积分： （1），其中是顶点分别为，，和的梯形闭区域； （2），其中是圆周所围成的闭区域； （3），其中. 2.交换下列二次积分的次序： （1）； （2）. 3.把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域. 4.计算下列三重积分： （1），其中是两个球：和的公共部分； （2），其中是由球面所围成的闭区域； 5.求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。 6.计算积分，其中为由所围的区域. 解 由 积分区域在坐标面上的投影区域， 用柱面坐标 20