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二次函数专项复习讲义 1、二次函数的定义 定义： y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5 x2，y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？ 2、二次函数的图像及性质 例2：已知二次函数 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）x为何值时，y0？x为何值时，y0？ 3、求抛物线解析式的三种方法 1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ y=ax2+bx+c(a≠0) 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式. y=a(x-h)2+k(a≠0) 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。 例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。 解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x 4、a，b，c符号的确定 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定. （3）b的符号：由对称轴的位置确定 （4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定 （5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y0,则a+b+c0 当x=1时，y0，则a+b+c0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y0,则a-b+c0 当x=-1，y0,则a-b+c0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0 练习 １、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（　　） A、a0,b0,c0 B、a0,b0,c0 C、a0,b0,c0 D、a0,b0,c0 2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（　　） A、a0,b0,c=0 B、a0,b0,c=0 C、a0,b0,c0 D、a0,b0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c 、 △的符号为（ 　） A、a0,b=0,c0,△0 B、a0,b0,c0,△=0 C、a0,b=0,c0,△0 D、a0,b=0,c0,△0 熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异) 4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限， 判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0. 5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限， 则a、b、c满足 的条件是：a 0,b 0,c 0. 6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a0，b0，c0，那么这个二次函数 图象的顶点必在第 象限 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想） 7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。⑴a+b+c=0