(二次函数应用.docVIP

1.如图.抛物线与x轴相交于点A和点B,与y轴交于点C. （1）求点A、点B和点C的坐标. （2）求直线AC的解析式. （3）设点M是第二象限内抛物线上的一点,且=6,求点M的坐标. （4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动(不与B,A重合),同时,点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动.设运动的时间为t秒,请求出△APQ的面积S与t的函数关系式,并求出当t为何值时, △APQ的面积最大,最大面积是多少? 解：(1)令,(x+3)(x-1)=0, A(-3,0)，B.(1,0)，C(0,3) (2)设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意得 解之得,直线AC的解析式为y=x+3. (3)设M点的坐标为(x,) AB=4,因为M在第二象限,所以0, 所以=6 解之,得, 当x=0时,y=3(不合题意)当x=-2时,y=3.所以M点的坐标为(-2,3) (4)由题意,得AB=4,AP=4-t, ∵AO=3,CO=3, ∴△ABC是等腰直角三角形,AQ=2t, 所以Q点的纵坐标为t, S=(1t4) 当t=2时△APQ最大,最大面积是. 思路分析： 考点解剖：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． 解题思路：（1）令y=0求得抛物线与横轴的交点坐标，令x=0求得图象与y轴的交点坐标即可． （2）利用已知的两点的坐标根据待定系数法求得一次函数的解析式即可． （3）设出点M的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），然后表示出其面积=6，解得即可． （4）证明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出点E的坐标，利用线段比求出NP，BE的长．求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值． 规律总结：本题是一道二次函数综合性较强的题，这里面最主要的一种思想方法就是数形结合，要会把数和形的条件互相转换，数→坐标→点→线段→形. 2.如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB＝4.将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上. （1）在图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长； （2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0t3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？ （3）当t（0t3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标. 解：（1）根据题意，△AOE≌△ADE，∴OE＝DE，∠ADE＝∠AOE＝90°，AD＝AO＝3. 在Rt△AOB中，.设DE＝OE＝x， 在Rt△BED中，BD2＋DE2＝BE2.即22＋x2＝（4－x）2.解得. ∴E（0，）. 在Rt△AOE中，. （2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE＝90°，∴四边形PMND是矩形. ∵AP＝t×1＝t，∴PD＝3－t.∵△AMP∽△AED，∴. ∴PM＝，∴. ∴或. 当时，. （3）△ADM为等腰三角形有以下两种情况：①当MD＝MA时，点P是AD中点， ∴.∴（秒）.∴当时，A、D、M三点构成等腰三角形. 过点M作MF⊥OA于F.∵△APM≌△AFM，∴AF＝AP＝，MF＝MP＝. ∴OF＝OA－AF＝3－.∴M（，）. ②当AD＝AM＝3时， △AMP∽△AED，∴.∴.∴. ∴（秒）.∴当秒时，A、D、M三点构成等腰三角形. 过点M作MF⊥OA于F. ∵△AMF≌△AMP，∴AF＝AP＝，FM＝PM＝. ∴OF＝OA－AF＝3－.∴M（，）. 思路分析： 考点解剖：此题是一道压轴题，本题主要考查特殊三角形、矩形、二次函数、动点、平面直角坐标系等知识点，主要涉及分类讨论和方程的数学思想方法，要注意分析问题时思维的严密性. 解题思路：对于（1）利用翻折前后的图形全等，结合勾股定理可求出点E的坐标及AE长；对于（2）可先证明四边形PMND是矩形，再利用△AMP∽△AED求出PM用含字母t的式子表示，进而求出矩形PMND面积的二次函数关系式，再求出矩形面积的最大值；对于（3）要注意分两种情况MD＝MA和AD＝AM＝3，结合全等三角形和相似三角形讨论求解. 规律总结：折叠问题要注意折叠前后的图形全等的隐含条件，同时要用到勾股定理进行求相关的量；运动问题解决的方法一般是“化运动为静”，即把运动的问题看成是静止的问题进行求解；当等腰三角形的底边或腰不明确时，要注意分类讨论求解，否则容易出现漏解现象.