(二次函数的性质及其应用.docVIP

二次函数的图象及其性质 1.二次函数的图象 二次函数的图象是抛物线,它有如下特点: (1)a0,开口向上；a0,开口向下； (2)对称轴是平行于y轴的直线x=h； (3)顶点坐标是(h ,k). 2.二次函数y=ax2+bx+c的性质. 开口方向:当a0时,开口向上,当a0时,开口向下. 对称轴:直线x= 顶点坐标:(, ) 增减性:(1)当a0时,在对称轴的左侧,即x时,y随x的增大而减小；在对称轴的右侧,即x时,y随x的增大而增大. (2)当a0时,在对称轴的左侧,即x时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧即x时，y随x的增大而减小. 最大（小）值：当a0时，抛物线有最低点，即当x=时，y有最小值；当a0时，抛物线有最高点，即当x=时，y有最大值. 例1 已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 解析:图像开口向下,a0对称轴找一对对称点，在这里与横轴的两个交点 -1+3／2=1所以选B 类似性问题 1. 下列函数：①y=-x；②y=x-1；③y=-（x0）；④y=-x2+2x+3（x1），其中y的值随x值增大而增大的函数有（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 解析：函数②③④的y的值随x值增大而增大. 2. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2， 点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中 点A的坐标为（0，4），则点B的坐标为（ ） A.（2，4） B.（4，2） C.（4，4） D.（4，3） 解析：点A、B关于直线x=2对称；点A的坐标为（0，4），所以点B的坐标为（4，4）. 探究类型之二 从二次函数的图象中获取信息 例2 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列5个代数式：ac,a+b+c,4a-2b+c,2a+b,2a-b中，其值大于0的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 解析:判断a的符号看图像开口方向，判断c的符号 要看图像与y轴的交点位置。判断a+b+c的符号要代x=1时的函数值。判断4a-2b+c要代X=-2时的函数值。判断9a+（-）3b+c要代X=3（-3）时的函数值。判断2a+b,比较对称轴与1的大小关系。判断2a-b比较对称轴与-1的大小关系 观察函数图象可知：当x=-2时，y0，即4a-2b+c0；当x=1时，y0，即 a + b + c0.观察函数图象我们还可以得到：图象开口向下，所以a0；当x=0时，y0，即c0；对称轴为x=，所以01.由a0,可得b0，b-2a，即b0，2a+b0.因为a0，b0，c0，所以ac0，2a-b0. 答案：A 类似性问题 3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，∴a0；∵对称轴在y轴左侧，则0，∴b0；∴y=bx+a经过第一、二、三象限，不经过第四象限. 初步性问题 探究类型之三 二次函数图象的平移 例3 将函数y=x2的图象向右平移m(m0)个单位，得到函数y=x2-4x+4的图象，则m的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析图像的平初步性问题 探究类型之四 二次根式的非负性 例4 在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ） 移的规则是左加右减，上加下减。所以选B 初步性问题 探究类型之四 和一次函数的综合应用 例4 在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ） 解析：做这样的题都是满足一个函数来判断另一个函数从图可知二次函数的常数项为2所以马上把B,C排除，A项一次函数自身都不满足，所以选D 类似性问题 4.函数y=mx+n和y=mx2+nx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） 解析：A项满足一次函数，m0,n.0,对于二次函数来说二次项系数和一次项系数异号，对称轴在Y轴的右侧。同号对称轴在Y轴的左侧。 所以A .B排除。D选项满足一次函数m0.n0.二次函数应开口向上。所以选C 5. 设a、b是常数，且b0，抛