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漳州师范学院 毕业论文 浅谈伴随矩阵的求法 Some calculation methods of adjoint matrix 姓 名： 徐平坤 学 号： 080402124 系 别： 数学与信息科学系 专 业： 信息与计算科学 年 级： 08级 指导教师： 宋子婷 2012年1月4日 摘要 本文介绍了伴随矩阵的一些性质和伴随矩阵的两种求法，并给出了一些特殊矩阵的伴随矩阵。 关键词：伴随矩阵；可逆矩阵；特殊矩阵 Abstract This paper introduces some properties of the adjoint matrix and two kinds of calculation mathods of adjoint matrix here, and gives some special matrixes’s adjiont matrix. Key words: adjiont matrix；invetrible matrix；special matrix目 录 中英文摘要…………………………………………………………………………………（I） 1引言………………………………………………………………………………(1) 2 伴随矩阵的定义及其性质………………………………………………………………（1） 2.1伴随矩阵的定义………………………………………………………………………（1） 2.2伴随矩阵的性质………………………………………………………………………（1） 3 伴随矩阵的求法…………………………………………………………………………（2） 3.1随矩阵的定义求法……………………………………………………………………（2） 3.2可逆矩阵的伴随矩阵的另一种求法…………………………………………………（2） 4 一些特殊矩阵的伴随矩阵………………………………………………………………（4） 4.1对角矩阵的伴随矩阵…………………………………………………………………（4） 4.2上三角矩阵的伴随矩阵………………………………………………………………（4） 4.3对角分块矩阵的伴随矩阵……………………………………………………………（5） 5 参考文献…………………………………………………………………………………（7） 6 致谢………………………………………………………………………………………（8） 1引言 伴随矩阵作为矩阵知识的一部分，怎样求得伴随矩阵的方法才是最简单正确的求法一直是人们研究伴随矩阵的内容之一。本文讲述了伴随矩阵的一些性质以及伴随矩阵的求法。我们经常用定义的方法来求矩阵的伴随矩阵，但是这种伴随矩阵求法要计算出个阶行列式。当取值比较大时，计算将是非常繁琐的。在这里给出了求可逆矩阵的伴随矩阵的方法，这种方法运用到了矩阵的一些性质以及初等变换。这种方法针对的都是可逆矩阵，具有一定的限制性。但是这种方法与用定义求伴随矩阵来说计算量相对比较小。所以当我们遇到可逆矩阵时可以用这种方法来求其伴随矩阵。 2.伴随矩阵的定义及其性质 2.1伴随矩阵的定义 定义1在行列式中划去元素的第行和第列，剩下的个元素按原来的排法构成一个级的行列式成为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式. 定义2 设为阶方阵，设是中元素的代数余子式，矩阵称为的伴随矩阵。 性质2 可逆当且仅当可逆 性质3 若可逆时， 性质4 性质5 若可逆时，则 性质6 ， 性质7 3伴随矩阵的求法 3.1伴随矩阵的定义求法 为阶方阵的每个元素a的代数余子式，例子如下： 例1矩阵求矩阵的,求矩阵的伴随矩阵, 解：由矩阵可得, ，， ， , ,, ,, , 因为,于是可得的伴随矩阵 3.2伴随矩阵的另一种求法 由矩阵的初等变换理论可知，若阶方阵可逆，则可通过对其初等行变换求,即,据此可有下面定理。 定理1 设为阶可逆方阵，作的矩阵，用初等行变换将它的左边一半化成，则右边一半就是. 证明 由初等行变换理论可知，若可逆，则有 又 因此 结论成立。 现在用此定理计算例1： 解： ,故可逆。  由定理1可知 得出的结果与用定义求得结果相同，进一步的证明了定理1的正确性。 通过两种方法的对比，我们