2012年高考数学_备考冲刺之易错点点睛系列_专题04_导数及应用(学生版).docVIP

导数及应用-无答案 一、高考预测 从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度．由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为： 导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点． 在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。 2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。 要点2：利用导数研究导数的单调性 利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式＞0或＜0。②若已知的单调性，则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上恒成立问题求解。 要点3：利用导数研究函数的极值与最值 1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数取值为0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数在点处有极小值=0，可是这里的根本不存在，所以点不是的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤. 2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系 极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但三、易错点点睛 命题角度 1导数的概念与运算 1．设，,…, ,n∈N,则 ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx [考场错解] 选C [专家把脉] 由=,,f3(x) =(-sinx)’=-cosx, ，，故周期为4。 [对症下药] 选A 2．已知函数在x=1处的导数为3，的解析式可能为 （ ） A．=(x-1)3+32(x-1) B．=2x+1 C．=2(x-1)2 D．=-x+3 =2e-xcosx令f’(x)=0,x=nπ+（n=1，2，3，…）从而xn=nπ+。f(xn)=e-( nπ+)(-1)n·=-e. ∴数列{f(xn)}是公比为q=-e-π的等比数列。 [专家把脉] 上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x）’=e-x是错误的，由复合函数的求导法则知（e-x）’=e-x(-x)’=-e-x才是正确的。 [对诊下药]（1）证明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’ =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos) =-2e-xsinx. 令f’(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nπ,(n为整数，从而xn=nπ(n=1,2,3,…)， f(xn)=(-1)ne-nπ,所