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向量方法 张宏斌 （疏附县二中 新疆喀什 844100） 摘要：向量的发展、向量方法在中学教学中的运用 关键词：中学数学教学；向量方法；应用 1 前言 见于在全日制普通高级中学教科书中增加了大量的相关向量的内容，如向量的概念、表示、性质及其运算等内容。尽管向量是高中数学的新增内容，是新高考的一个亮点。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的双重身份，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，空间几何占有着很重要的地位比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程这充分揭示方法求变的重要N维向量理论是由德国数学家格拉斯曼于1844年引入的。这里的n维向量可以是任意数学对象或物理对象。格拉斯曼在1862年的《扩张论》中给出了一种经验的线性结构的公理化表述，定义了元素的加法、减法、数乘和数除，给出了这四种运算的一系列基本性质和运算定律。 2.3 向量理论的完善。 向量空间的抽象概念首先由意大利的皮亚诺（1858-1932）从几何中发展而来他在1888年的著作《几何演算---基于格拉斯曼的扩张论》中给出了被他称为“线性系统”的第一个公理化定义。 1918年，德国数学家外尔（1885-1955）在其著作《空间，时间，物质---关于广义相对论的讲座》中对实数域上的向量空间进行了公理化。但皮亚诺和外尔的工作对向量空间公理化的传播并没有起到决定性的作用。向量空间公理化向前发展的关键性一步是由波兰数学家巴拿赫（S.Banach，1892-1945）、美国数学家维纳（N.Wiener，1894-1964）和澳大利亚数学家哈恩（H.Hahn，1879-1934）迈出的。这三位数学家都是在分析的研究中发现了赋范向量空间的概念，且都对推广各种空间的代数和拓扑性质具有浓厚兴趣。到20世纪30年代，向量空间理论已成为许多复杂精确性理论的基础和一种模型，被广泛应用到数学的许多分支及其它学科中。像任何一门公理化的数学分支一样，向量理论的公理化一旦完成，就允许各种具体的解释，其应用范围得到了极大的拓广。 现今，（n维）向量空间的概念，已成为数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各个领域中得到了广泛的应用，而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供了一个具体的数学模型。 回顾向量概念的历史演变，向量概念的演变可分为两个传统，其中一个传统与数学有关，存在于数的概念的不断扩张中；另一个与物理学有关，存在于寻找物理现象的数学表述和演算中。主要是为了满足物理学的需要。 3 向量思想方法 什么是向量思想方法？中学向量的研究，大多是对向量知识的教学研究，而把向量解决问题上升为一种指导思想的研究较少。实际上向量思想方法是向量知识的组成部分，是以向量内容为载体的对向量的一种本质认识，是一种隐性的认识。而向量思想作为一种解题的指导思想，而向量法是实现这种指导思想的具体操作方式。所谓的向量思想方法，即从问题的条件入手，找到与向量知识的相交点，转化为向量背景下的形式，借助向量的运算法则求解，然后回到原问题中达到解决问题的目的。所以向量解题的一般步骤是： 1）将一个实际问题化归为数学问题，进行数学化设计； 2）将数学问题化归为向量问题，进行标准化设计，这个过程也就是如何科学地、合理地构造合适的向量，即向量化过程； 3）将向量问题化归为流畅的向量运算过程； 4）将结果还原为原问题的解。 4 向量方法在中学数学教学中的作用 沟通几何与代数的桥梁：向量的几何描述与坐标描述，向量集数、形于一身，是数形结合的绝好体现，沟通了代数、几何、三角。 那么，向量究竟有什么威力和魅力，使得它如此受人重视呢？说来简单，无非向量“能算”。在数学上，点的直角坐标，向量的坐标分解（投影），直角三角形的正弦、余弦，复数的实部与虚部四位一体。它们的原始概念彼此相通，只有形式上的不同。向量分解可以看作直角坐标的一种推广。分解就是投影，投影的量化就是正弦和余弦。可见向量在中学教学中的作用。 1）有利于《课标》实施过程中数学思想方法的落实； 2）有利于体验和感受数学的简单美； 3）有利于更新空间思维方法； 4）有利于中学数学和大学数学的衔接； 5）有利于形成以向量为主线的高考总复习。 过去认为中学数学可围绕两条明显主线展开，一条是“数系”，另一条是形。随着课程改革的实施，中学数学还可围绕“向量”这条主线展开，因为向量是一种好用的工具，向量是联系几何和代数的桥梁，可以解决很多几何和代数问题。向量是中学数学许多知识的交汇点，是构建知识网络的绝佳载体。 5 向量在中学教学中应用举例