(向量的运算法则.docVIP

（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有： 1）。 2）分配律：，。 （2）向量的数量积运算法则： 1）2） 3） （3）平面向量的基本定理。 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量，有且仅有一对实数，满足。 （4）与的数量积的计算公式及几何意义：，数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。 （5）平面向量的运算法则。 1）＝，＝+＝ 2）＝，＝-＝3）A，B，则。 4）＝＝＝，＝＝（＝，＝ ＝（AB）＝，＝0，则有： 1）||＝ （0） ＝0。 （9）线段的定比分公式： 设，，是线段的分点，，则 （）。 （10）三角形的重心公式： △ABC三个顶点的坐标分别为、、，ABC的重心的坐标为。 （11）平移公式： 。 （12）关于向量平移的结论。 1）点按向量＝平移后得到点。 2）函数的图像按向量＝平移后得到图像:。 3）图像按向量＝平移后得到图像:，则为。 4）曲线:按向量＝平移后得到图像:。 设a=（x，y），b=(x，y)。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 ??向量的加法 OB+OA=OC。 a+b=(x+x，y+y)。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。[1]? 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被 ??向量的减法 减” a=(x,y)b=(x,y) 则a-b=(x-x,y-y). 如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。 3、向量的数乘 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ0时，λa与a同方向 当λ0时，λa与a反方向； ??向量的数乘 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当λ1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ0）或反方向（λ0）上伸长为原来的∣λ∣倍 当λ1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ0）或××反方向（λ0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。[2]? 4、向量的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a，b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x+y·y。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律） (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) （a+b)·c=a·c+b·c（分配律） 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|） 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。 2．向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。 3．|a·b|与|a|·|b|不等价 4．由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 5、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积 ??向量的几何表示 （外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则a×b=0。 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a垂直b〈=〉a×b=0 向量的向量积运算律 a×b=-b×a （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb） a×（b+c）=a×b+a×c. 注：向量没有除法，“向量AB/