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第2章 非线性规划 在许多实际问题中，所建立的优化模型的目标函数或约束条件（或二者）是非线性的，所以非线性规划也是运筹学中最常用的方法之一，在生产管理和过程控制中有广泛的应用。 2.1 非线性规划问题举例 【例2-1】钢铁厂自备发电厂负荷的最优分配问题。 设自备发电厂有3台蒸汽透平发电机，输入燃料，内部有高炉煤气和焦炉煤气，外购的有液化石油气。设内部煤气不足，需用外购的液化石油气。由于机组对输入各种燃料的输出特性不同，应如何分配燃料，使自备电厂效益最好？ 为了确定各种燃料的分配，设yi，i=1，2，3为各机组的有效电力（MW），x1i，i=1，2，3为各机组输入高炉煤气；x2i，i=1，2，3为各机组输入焦炉煤气；x3i，i=1，2，3为各机组输入液化石油气。 设电力单价为，液化石油气单价为，则可写出如下模型NP： 目标函数 max f(x)=(++)-(++) 约束条件 1）高炉煤气使用量上限 ++≤ 2）焦炉煤气使用量上限 ++≤ 3）各机组电力上、下限和 ≤≤ i=1，2，3 =a0i+a1i+a2i+a3iFsi i=1，2，3 a——系数； ——抽气流量(t/h)； ——中间变量。 且 =++ 式中b为系数，q为各燃料热值（103Kcal/Nm3）。 这一数学模型的约束是线性的，而目标函数是非线性的，构成一个非线性规划问题。 2.2 基础知识 非线性规划问题的一般形式是 （NP） min f (x1，x2，xn) （2-1a） s.t. (，，…) ≤0，i=1，2，…，m （2-1b） (，，…)≤0，i=1，2，…，s （2-1c） 写成向量形式，为 （NP） （2-2a） s.t. ()≤0，i=1，2，…，m （2-2b） ()≤0，i=1，2，…，s （2-2c） 定义2-1（全局最优解） 一个定义在上的函数，如果对的每一点 都有 f(x) ≥f() 则称为全局极小解，为全局极小值。 定义2-2（局部最优解） 一个定义在上的函数，若在邻域内的每一点上有 f(x) ≥f() 则称为局部极小解，为局部最小值。 2.2.1 梯度 对于一元函数来说，达到极值的必要条件是 =0 对于n元函数来说，达到极值的必要条件是 i=1，2，…，n 或写作 =，，…，〕= （2-3） f(x)称为f(x)的梯度，梯度是非线性规划的一个重要概念，表示函数f(x)的最速上升方向。 2.2.2 凸集 定义2-3（凸集） 设为中的非空集合，若连接中任意两点和的线段上的点均属于，即对于任意0≤α≤1，恒有 + 则称集合为凸集，称连接两点的线段为的凸组合。 图2-1中a、b是凸集，c、d不是凸集。 图2-1 凸集 2.2.3 凸函数 定义2-4（凸函数） 设f(x)定义在凸集上，取的任意两点和，若对任意 0≤α≤10，有 +)≤αf (x1) +(1-α)f (x2) 则称f(x)为凸函数。在严格不等式成立时，称为严格凸函数。如把上式中的不等式“≤”改为“≥”则称为凹函数。图2-2所示为凸函数。 定理2-1 设是中的非空凸集，f(x)在上是可微的，则f(x)为上的凸函数的充要条件是，对任意x1，x2≥ （2-4） 对一元函数，这一定理的几何解释如图2-3所示。 图2-2 凸函数 图2-3 定理2-1的几何意义 定理2-2 设是凸集，f(x)是上二次连续可微的，则f(x)在上为凸函数的充要条件是：对所有x，其赫森阵 f (x) = （2-5） 是半正定的。如果f (x)是正定的，则f (x)是严格凸函数。 所谓f (x)是正定的，是指除经x=0外，对所有的x，有 xTf (x)x0 2.3 无约束问题的非线性规划最优解 对于无约束的非线性规划问题，根据上述有如下结果： （1）局部极小（或极大）的必要条件 （2）局部极小（或极大）的充要条件是：在点附近，是半正定 （或半负定）的。 （3）全局极小（或极大）的充要条件是，处处是半正定（或半负定）的。若为正定（或负定），则为惟一全局极小（或极大）。 【例2-2】=，求极小值。 由 ，=，=0 可得，为极值解。为了判别这一点是否为极小解，由 = =，=2 可知，除=0外，对所有均有，故为正定，为惟一全局极小点。 2.4 有等式约束问题的非线性最优解 有等式约束的非线性规划问题可写成 （NP） min f(x) （2-7a）