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曲线方程和椭圆单元片（共6课时） 郭梅 一、本单元（片）重要知识点及其内涵： 知识点1：曲线与方程 理解要点：1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 注：如果中满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。 2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y). (3)列式——列出动点P所满足的关系式. (4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。 (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 注: 注意事项：求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。 应用形式： 求轨迹方程 知识点2：椭圆及其标准方程： 理解要点： 1. 椭圆的定义： 2.椭圆方程.①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x轴上：ii. 中心在原点，焦点在轴上：.②一般方程：.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于） 应用形式： 求椭圆的标准方程 知识点3：椭圆的简单几何性质:： 理解要点： （1）范围： （2）对称性： （3）顶点：椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点. （4）离心率：定义式： 注意事项： 范围：当e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 应用形式： 求椭圆的离心率 知识点4：直线与椭圆的位置关系理解要点内化 理解要点： 1、点与椭圆的位置关系。点坐标代入方程后判断。 2、直线与椭圆的判断只能用代数法，即直线与椭圆与方程联立后判断判别式。 1．对于直线与椭圆方程联立得方程组 对解的个数进行讨论，有两组不同实数(△0)时，直线与椭圆相交；有两组相同(△=O)时，直线与椭圆相切；无实数(△O)时，直线与椭圆相离． 设两交点A(，y)，B(，y2)，直线斜率为， 则AB|==. ∵∴|AB|=.∴|AB|=|x1-x2| 注意事项： 1、判断直线与椭圆位置关系要注意，判断直线的斜率是否存在！ 2、焦点弦的问题，可以用焦半径公式处理。 应用形式： 求直线与椭圆相交的弦长、离心率、及综合问题。 二、学难点及突破方法： 1、曲线与方程：理解曲线方程的定义，掌握及其求解步骤及其方法（如待定系数法、定义法、直接法、代入法、消参法等） 2、圆锥曲线及其标准方程：在求解过程中，先确定焦点位置，选取适当形式并再据条件求出a,b,注意a、b、c三者的关系。 3、圆锥曲线的几何性质：根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出图形，引导学生观察椭圆，从对称性、顶点、范围、扁圆程度等等研究得出椭圆的几何性质。 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。 三、生应掌握的题型（问题）及解决方法和规律 题型一：求轨迹方程 方法一：用直接法求轨迹方程 1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含、的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。 2．用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题型，有时题目以向量为背景，解题中需注意向量的坐标化运算。有时需分类讨论。 〖例〗如图所示，设动直线垂直于x轴，且与椭圆交于A、B两点，P是上满足的点，求点P的轨迹方程。 思路解析：设P点坐标为(x,y)求出A、B两点坐标代入求P点轨迹标明x的范围。 方法二：用定义法求轨迹方程 1．运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 2．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义。同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。 〖例〗如图所示， 一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的轴线。 思路解析：利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足