欠定方程问题.docxVIP

LSQR研究记录 欠定（under-determined）方程理论上应该有无穷多解，而matlab只给出其中一组解，是将某个xi置零得出的。这样，如何定义欠定方程的误差呢？也就是，误差中的标准解怎么解决？ 反演过程中，由于Ax=b中的b是构造得到的，所以误差的标准可以选x。但是，这个误差的定义有没有问题？有的文献认为针对欠定问题，选取最优解的标准是||x||最小。 lsqr_basic.m运行结果表明，lsqr在解欠定问题时（即使条件数不大，注：lsqr迭代停止标准的一种是计算残差，欠定问题的最大难点在于即使残差为0了，解还是与真值相差很远），得到的结果与真值相差还很大（38.5%）；直接用matlab自带左除也是误差很大。是否应加入先验信息来使得结果逼近真解？ 暂时搁置欠定问题，先利用一维情况，计算超定问题。一维情况可以得到很好的结果，但是不能反映出混定问题的复杂性。混定问题Gm=d 大多数地球物理反演问题，既不是完全超定，也不是完全欠定，而是表现为一种混定形式[1]。就观测数据与模型参数数目而言，MN表现为超定，但GTG的特征值有接近或等于零的情况（秩rN） ，又具有欠定性质。显然无论用最小二乘法还是用最小模型法求解这类问题，都不能得到满意的结果。如果我们把求解超定问题和欠定问题的目标函数综合一下，取它们的线性组合，即目标函数为 式中，ε称为阻尼因子或加权因子，它取决于预测误差E与模型长度L在极小化过程中的相对重要性。如果所取的ε足够大，那么这一方法明显地使解的欠定部分达到极小。可惜的是，它也有使解的超定部分达到极小的趋势。其结果，所得到的解将不一定会使预测误差E极小 ，因而它本身也就不会是真实模型参数的一个非常好的估计。如果令ε等于零，则将使预测误差极小，但是却不存在任何先验信息用于选出欠定的模型参数。不过，有可能找出的某一折衷值，在使欠定部分解的长度近似取极小的同时使E近似达到极小。没有什么简单方法来确定ε的折衷值应该多大，ε的折衷值必须用尝试法来确定。用非常类似于导出最小二乘法的方式求φ(m)的极小，可得到 这一模型参数估计值称为阻尼最小二乘解法。这种反演方法叫马夸特（Marquardt）法。用这种方法求解混定问题，误差的概念已经推广到不仅包括预测误差而且还包括解误差。可以说问题的欠定性在这里得到了阻尼。 我们所遇到的就是混定问题，K矩阵为7640*1600时，它的秩为181。用lsqr的反演效果仍然不理想，推测是与矩阵严重病态有关。计划①以超定方程为例，研究lsqr本身：已完成（如果还有需要，应参照[1]） ②改善病态性的方法 ③一维三个峰，加噪声：根据实际文献的参数，目前无法得到三个峰；加噪声的结果反演效果虽然整体较好，变化趋势与信噪比的变化变化趋势不一致；气-水模型由于T2到了0.1s以上，效果较差。另：试图利用库函数lsqr_b的F（滤波）来改善，效果更差，原因不明。F相关没见过资料针对②：残差已经很小，为10^-9数量级，所以并不是迭代的终止条件选择问题，而是达到了终止条件但是相对误差依然很大。终止条件选择迭代次数k、残差或是准则三[3]都不能达到满意效果。有必要改善方程的病态性。计划：阻尼最小二乘问题，如何选择阻尼因子不适定问题 给出问题的适定性概念,满足如下三个条件： (1)解的存在性,(2)解的唯一性,(3)解的稳定性, 则称算子方程在Hilbert空间相对(X,Y)是适定的,否则称算子方程在Hilbert空间相对(X,r)是不适定的[4]。一个典型不适定问题例子就是病态线性方程组的求解。病态线性方程组例：考虑线性方程组,其中。 一般地,如果方程组的系数|B| = 0,则B-1是不存在的,是不适定的。如果方程组的系数|B|≠0,并且条件数cond(A)非常大,此时若有的方程组右端数据y有小的扰动就会导致真解的严重偏差,那么就会使得解具有不稳定性,方程组同样是不适定的。正则化参数选取策略 选取正则化参数通常有先验和后验两类策略,先验策略仅仅利用算子K的性质,具有理论分析的价值,在实际的计算中,我们通常采用的是后验策略,即根据误差水平对正则化参数进行选择和调整。比较常用的策略有:Morozov偏差原理;L-Curve准则;广义交叉准则等等。 正则化参数α 的选取对所求解的性态起着关键的作用．如果α 太小，则对问题的谱的改善没有起到什么作用，即解的不稳定性仍然存在；如果α 太大，所得到的新问题是可以稳定地求解了，但该问题已经与原问题相去甚远，是一个相当糟糕的逼近，所求的根本不是原来问题的解了．最优的正则化参数选取应当兼顾这两种情况[5]．惩罚项、平滑因子（阻尼因子） 最小二乘解 为了解决病态问题，加入惩罚项，则 式中，称为平滑因子（阻尼因子）[6]。模平滑法、曲率平滑法 为单位矩阵时，即是模平滑方法；当