欧拉的定理.docVIP

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。　欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。　欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。　欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月地问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。 2数论定理编辑 内容 在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则: 证明 首先证明下面这个命题： 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系（或称简系、缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 。 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定与n互质，因此 任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 。 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样，那么 （a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) = （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于([a^φ(n)] *（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质 根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n) 费马定理: a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论：对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。 内容 设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr． 证明 O、I分别为⊿ABC的外心与内心． 连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分BAC，故D为弧BC的中点． 连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径． 由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明） 但DB=DI（可连BI，证明∠DBI=∠DIB得）， 故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r即可．（需要过I做AB垂线交AB与F） 而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R^2-d^2=2Rr，即证． 3拓扑公式编辑 V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X(P)是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。 X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。 4经济学编辑 欧拉定理指出：如果产品