(微积分与矩形面积.docVIP

积分 　　1）问题的提出——求曲边梯形的面积 　　可以用矩形面积近似取代曲边梯形面积. 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． 　　　　　 　　　　　　　　　　　　（图一） 　　　　图二中用四个小矩形逼近 　　　　　 　　　　　　　　　　　　（图二） 　　　　图三中用九个小矩形逼近 　　　　　 　　　　　　　　　　　　（图三） 　　　　曲边梯形面积的近似值为： 　　　　　 　　　　当等分间隔无穷多时： 　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　（图四） 　　2）定积分的定义 　　　　上式的这个极限称为函数在区间上的定积分，记为： 　　　　　 　　3）定积分的几何意义 　　　　曲边梯形的面积： 　　　　 　　　　曲边梯形的面积的负值： 　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（图五） 　　　　图五中曲线与坐标轴所围区域的面积为： 　　　　 　　4）定积分的性质 　　　　 　　5）原函数与不定积分的概念 　　　　定义： 　　　　如果在区间 内，可导函数的导函数为，即，都有或 ，那么函数就称为或在区间内的原函数。 ? 　　例： 　　　　　，是的原函数． 　　　　　，是在区间内的原函数． 　　　　　原函数并非唯一，如： 　　　　　，C为任意常数 ? 　　　　不定积分的定义： 　　在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分， 记为． 　　　　　 　　6）积分的基本计算 　　　　°由不定积分的定义可知，寻找原函数是计算的关键 　　　　例如： 　　　　　 　　　　微分运算与求不定积分的运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 如： 　　　　　 　　　　°定积分是特殊条件下的不定积分 　　　　　 　　　　　这称为牛顿—莱布尼茨公式　　　　　　　　　　　　　 　　　例1:求 　　　　　　　 　　　　　　 解： 　　　　　　　　 　　　　 例2: 求 　　　　　　　 　　　　　　 解： 　　　　　　　 　　　例3:求 　　　　　　　 　　　　　　 解: 　　　　　　　 ? 　　结束语: 　　　　发展独立思考和独立创新的一般能力，应当始终放在首位，而不应当把知识放在首位。如果一个人掌握了他 的学科的基础理论，并且学会了独立思考与工作，他必定会找到自己的道路。而且比起那些主要以获取细节知识为其 训练内容的人来，他一定会更好适应进步和变化． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－爱因斯坦 的几何意义是由，，，围成的曲边梯形的面积（代数和）。矩形方法就是用小矩形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和以获得定积分的近似值（见图）。试选择一个简单的定积分题目利用定积分近似计算的矩形公式计算之，观察后者随着节点的增多，计算值与准确值的误差变化。 图1定积分的几何意义 3.3.3应用实验 ?? 本实验研究转售机器的最佳时间问题。 1．定积分定义 面积问题（资料） 在极限部分我们已经讨论抛物线下的面积问题。现在我们讨论一个更一般的面积问题。 设函数在区间上是连续的，且是非负的，如图1所示。如何求由曲线与直线与轴所围成的区域的面积呢？ 我们现在有两个问题要解决，一是给出面积的定义，一是找出计算面积的方法。微积分的巨大功绩就在于用干净利落的方法同时解决了这两问题。 由图1所示的图形称为曲边梯形。求曲边梯形的面积的方法与求抛物线下的面积的方法是一样的。 图1 曲边梯形 ? 把区间分成份，分点为 小区间的长度分别为 , ? 过各分点作平行于轴的直线，这些直线把曲边梯形分成个小曲边梯形，设第个小曲边梯形的面积为 在每个小区间上，任取一点，即过点引平行于轴的直线，交曲线于点点的纵坐标为过作平行于轴的直线，与直线交成 一个小矩形，如图2中的阴影部分所示，这个小矩形的面积为，即 图2小矩形面积 ? 把个小矩形的面积加起来，就得到曲边梯形面积的一个近似值：  = 令 符号“”为希腊字母，念作“西格玛”，它表示一种求和运算。 当分点无限增多，即无限增大，而小区间的长度无限缩小时，如果和的极限存在，我们就很自然地定义曲边梯形的面积为和的极限： 由此我们提出的问题也就解决了。因为我们已经给出了曲边梯形面积的定义，并且给出了计算面积的方法，但是在一般情况下，用求极限的方法去计算面积是太困难了，我们还需要