(初三数学圆知识精讲首师大版.docVIP

初三数学圆知识精讲 一. 本周教学内容： 圆 1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理： （1）垂径定理及其推论。 （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 （3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。 （4）圆内接四边形的性质定理及其推论。 （5）切线的性质及判定。 （6）切线长定理。 （7）相交弦、切割线、割线定理。 （8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。 （9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。 （10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 （11）正n边形的有关计算。 圆这一章中的知识点包括5个B级，13个C级，3个D级水平的共21个知识点，多数要求掌握或灵活运用，所以圆这部分的知识非常重要。 二. 中考聚焦： 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表： 圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。 三. 知识框图： 【典型例题】 例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？ 分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示： 解： ∴点导火索的人非常安全 例2. 已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。 分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB。 此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。 解：分两种情况讨论： （1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）： 过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F 连OC、OB，则CE＝DE ∵AB∥CD，OE⊥CD ∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高 在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4 （2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）： 过O作OE⊥CD于E，交AB于F 以下证法同（1），略。 例3. 如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。 分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC，于是，可以把tanC·tanD转化为 解：连结BC、BD ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90° ∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC 作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F 则△AEC∽△ADB ∴AC·AD＝AE·AB 同理，BD·BC＝BF·AB ∵△APE∽△BPF ∵P为半径OB的中点 ∴tanC·tanD＝3 例4. 分析：由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。 证明：延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC ∴∠ADB＝∠ACB＝60° ∵四边形ABDC是圆内接四边形 ∴∠ABE＝∠ACD 在△AEB和△ADC中， ∴AE＝AD ∵∠ADB＝60° ∴△AED是等边三角形 ∴AD＝DE＝DB＋BE ∵BE＝DC ∴DB＋DC＝DA 说明：本例也可以用其他方法证明。如： （1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。 （2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再