(初等数学复习.docVIP

初等数学复习 实数系统及实数的绝对值： 1、实数系统表： 实数 *实数集是稠密的即任两实数间都有实数； 任意一个实数数轴上的点。 2、实数的绝对值： （1）定义：， （2）几何意义：实数的绝对值在数轴上表示与对应的一点到原点的距离。 （3）几个关系式： 设则 。 。 初等代数中的一些知识： 1、应熟记的公式： 一些等式 (1) （2） （3） (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1+2+3+…+ (10) 1+3+5+…+ (11) (12) 一些不等式： 基本性质： 1）如果则。 2）如果则。 3）如果则。 4）如果则。 重要不等式： 设，则， 一般地：， 即算术平均值不小于几何平均值。 2、一元二次方程 (1) 一般形式: () (2) 求根公式: (3) 根的判别式: 有不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 (4) 根与系数的关系: 设是一元二次方程的两个根,则 , 3、集合代数初步： （1）集合的基本概念： 集合：（描述定义）把具有某种属性的一些对象看成一个整体，就形成一个集合。一般用大写字母等表示集合。 元素：集合里的各个对象.一般用小写字母等表示元素. 对于一个集合和确定的元素,它们之间有以下两种关系中的一种: 1) 是集合中的元素,则说属于,用表示,或 2) 不是集合中的元素,则说不属于,用表示. 集合的表示方法有两种: 列举法:把集合中的元素一一列举出来.如由元素组成集合. 则可表示为:. 描述法:若集合是由具有某种性质的元素的全体组成的,则可表示为: 如:设都是实数,且 , , , , 设是任一正数,点的邻域记为, . (点称为邻域的中心, 称为邻域的半经) 点的去心邻域记为, (即点的邻域中去掉中心) (2) 特殊的和常用的集合 空集:不含任何元素的集合.记为. 全体非负整数的集合(自然数)记作,即. 全体正整数的集合记作,即. 全体整数的集合记作,即 全体有理数的集合记作即 全体实数的集合记作即, 集合为全集或基本集即,一般地取= （3）集合间的关系 集合是集合的子集记为(表示任意): 显然有: 若,则称集合是集合的真子集,记作, 例如 若 (4) 集合的运算 集合的并(集) : 集合的交(集) : 集合的差(集) : 集合的余集(补集): . 如集合 设、、为任意三个集合，则有下列式子成立： 1）， 2）， 3），；， 4）交换律：， 5）结合律：， 6）分配律： 7）对偶律：， 四、 函数 1、函数的定义： 设是两个变量，是一个给定的数集，如果对于每一个，变量按照一定的法则总有唯一确定的数值与之对应，那么称是的函数，记为。称为自变量，称为因变量。 数集即自变量的取值范围称为这个函数的定义域， 与对应的值叫做函数值。函数值的全体称为这个函数的值域。 练一练： 求：的定义域 2、函数的表示方法： （1）解析法：用一个等式表示两个变量间的函数关系的方法。 （2）列表法：用列表表示两个变量间的函数关系的方法。 （3）图像法：用图形表示两个变量间的函数关系的方法。 3、函数的性质 （1）单调性 在某区间上，对于自变量的任意两个值，当时，都有称函数是在此区间上的增函数（减函数）。 增函数的图形是沿轴的正向上升的。 减函数的图形是沿轴的正向下降的。 如果函数在某区间上是增函数或减函数，就称在此区间上是单调函数。这个区间叫做函数的单调区间。 （2）奇偶性 定义 对于函数的定义域内任意一个值都有，则称函数是奇函数。奇函数若在=0有定义，则 对于函数的定义域内任意一个值都有 ，则称函数是偶函数。 练一练： 证明：是奇函数。 图形特征： 奇函数的图形关于轴对称，偶函数的图形关于轴对称。 任何一个函数均能表示为一个偶函数和一个奇函数的和。（为什么？） （2）有界性 定义 设函数在区间内有定义(可以是函数的定义域,也可以是定义域的一部分).如果存在一个正数,对于所有的,恒有,则称在区间内有界.如果不存在这样的正数,则称在区间内无界.在定义域内有界的函数称为有界函数. 想一想:你学过那些有界函数. 4、反函数 定义 设有函数，如果对于其值域中的每一个值，都有确定的值和它对应，这样就有为的函数，这个函数叫做原来函数的反函数。记作。 习惯上都用表示自变量，表示函数。因此把函数的反函数记作。 的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。 函数与反函数的图像关于直线对称。 练一练：求的反