行列式计算全解.ppt

* 主要内容 1.定义 2.性质 5条 3.展开定理 4.几个重要结果 范德蒙行列式 P.17例2 三角形行列式的值等于对角元之乘积 行列式的计算方法小结 可从计算方法和行列式特征两个角度总结。 1. 直接用定义（非零元素很少时可用） 2. 化三角形行列式法 此法特点： (2) 灵活性差，死板。 程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的 字母行列式适用。 3.降阶法 利用性质，将某行(列)的元尽可能化为0，然后按行(列)展开. 此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。 一.方法 *4. 递推公式法 (见附录1) *5、数学归纳法 (见附录2) *6. 加边法（升阶）(见附录3) 二、特征 1. 奇数阶反对称行列式 的值为零。 . 阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行列式或结合展开定理计算. . 非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。 一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果） 为对称行列式 例 为反对称行列式 例 是反对称行列式 不是反对称行列式 两种重要行列式 加到P.17 例 （P.17） 证明奇数阶反对称行列式的值为零。 证 当n为奇数时有 例 2. “箭形”行列式 化成三角形行列式 如:练习册P.2 6(2)题 例 另外：见P.21例6, P.41—18题 3. 除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行列式或箭形行列式 另 可化箭形行列式 例 P.43 25题是x,y n阶 n-1阶 n-1阶 某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可用降 阶法或定义或递推公式法或归纳法 5. 各行(列)总和相等的行列式 (赶鸭子法) 例 计算行列式(P.20 a 换为y) *或 －y 乘第1列加到后面各列： * 例如 (P.39 12(6) 、(7)，P.40 15(3),P.44 27 如：P.41 18, P.42 19, 20(2)、(3) 1列(行)“1”的巧妙利用 6 范德蒙(Vandermonde)行列式（重要结果） 例 计算行列式 解 V是 的范德蒙行列式， 故 注： 显然，范德蒙行列式 练习册P.6： 12张 将一不含λ的非零元化成零，某行可能会出现公因子，提公因子，可降次。 7. 部分对角线上含参数的行列式 例 为何值时,D=0? 附录1. 递推公式法 特征：某行（列）至多有两个非零元素。 方法：按此行（列）展开，可能会导出递推公式。 例1(另见A26) 按第一行展开好，还是按第一列展开好？ n-1阶 由此得递推公式： 因此有： D2=? 解法2：从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。 例2 由此可得递推公式： 因此有 又因为 故 则 递推公式法的 步骤： 1. 降阶，得到递推公式； 2. 利用高中有关数列的知识，求出行列式 。 技巧！ 附录2、数学归纳法 例 证明范德蒙(Vandermonde)行列式 证明(数学归纳法) ，结论成立。 按第1列展开 根据归纳假设有： 综上所述，结论成立 。 附录3. 加边法（升阶） 要点：将行列式加一行一列，利用所加的一行（列）元素 ，将行列式化成三角形行列式。 例9 用加边法计算 n+1阶 还可用赶鸭子法！ 将第1行的(-1)倍分别加到第2行，第3行，...，第n+1行得： (1) 若m=0，则 n+1阶 “箭形”行列式 从加边前的Dn 得出 综合练习题 2. 用多种方法计算下列行列式 (2). (3). (1). *