第1讲三角函数的图象与性质(教师).docVIP

第1讲　三角函数的图象与性质 本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，去求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答题，难度中等偏下． 二、网络构建 三、高频考点突破 考点一：三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 【例1】(2012·北京东城模拟)在平面直角坐标系xOy中，将点A(1，)绕原点O顺时针旋转90°到点B，那么点B的坐标为________；若直线OB的倾斜角为α，则sin 2α的值为________． []　根据三角函数的定义求出点B的坐标，进而求出角α，可求sin 2α. [规范解答]　如图所示，点A的坐标为(，1)， AOx＝60°，又AOB＝90°，BOx＝30°， 过B作BCx轴于C， OB＝2， OC＝，BC＝1， 点B的坐标为(，－1)， 则直线OB的倾斜角为，即α＝， sin 2α＝sin ＝－sin ＝－. [答案]　(，－1)　－ 三角函数的定义与诱导公式的应用 (1)三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定义求三角函数值有时反而更简单． (2)应用诱导公式化简三角函数式，要注意正确地选择公式，注意公式的应用条件． 考点二：三角函数图象变换及函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【例2】(1)(2012·宿州模拟)函数y＝sin的图象可由y＝cos 2x的图象经过怎样的变换得到 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 (2)(2012·泰州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f的值是________． []　(1)应用诱导公式把两个函数化为同名函数，然后比较二者的差异可得； (2)先由图象求出f(x)的周期，从而得ω的值，再由关键点求φ，由最小值求A，故得f(x)，可求f. [规范解答]　(1)y＝sin ＝cos＝cos ＝cos 2， 故函数y＝sin的图象可由y＝cos 2x的图象向右平移个单位得到，故选D. (2)如图所示，＝π－＝，T＝π.则ω＝2. 又2×＋φ＝π，φ＝， 又易知A＝， 故f(x)＝sin，f＝sin ＝. [答案]　(1)D　(2) 求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式及其图象变换的规律方法 (1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A，由函数的周期确定ω，由图象上的关键点确定φ. (2)一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作把曲线y＝sin ωx上所有点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平移个单位长度而得到的． 【例3】(2012·北京东城11校联考)已知函数f(x)＝cos2ωx－sin ωx·cos ωx(ω＞0)的最小正周期是π. (1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心； (2)若A为锐角ABC的内角，求f(A)的取值范围． []　把f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式后求单调区间与对称中心，再根据A的范围求f(A)的取值范围． [规范解答]　(1)f(x)＝－sin 2ωx ＝cos＋， T＝＝π，ω＝1. f(x)＝cos＋， －π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，kZ， －＋kπ≤x≤－＋kπ. 函数f(x)的单调增区间为，kZ， 令2x＋＝＋kπ，x＝＋， 对称中心为，kZ. (2)0＜A＜，＜2A＋＜， －1≤cos＜， －≤cos＋＜1， 所以f(A)的取值范围为. 三角函数性质的求解方法 (1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式再求解． (2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性，最值与周期． [易错提示]　(1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x的范围对最值的影响，往往结合图象求解． (2)求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，只有当ω＞0时，才可整体代入并求其解，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解． 四、专题训练 1．(2012·浙江)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 解析　利用三角函数的图象与变换求解． 结合选项可知应选A. 答案　A 2．(2012·惠州模拟)在(0,2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围为 A.　　B. C. D.∪ 解析