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第二章 逻辑代数基础 2.1 逻辑代数运算 提纲： 逻辑变量与逻辑函数， 逻辑代数运算， 逻辑代数的公理和基本公式， 逻辑代数的基本定理（三个）， 逻辑代数的常用公式。 2.1.1 逻辑变量与逻辑函数 采用逻辑变量表示数字逻辑的状态，逻辑变量的输入输出之间构成函数关系。 逻辑常量：逻辑变量只有两种可能的取值：“真”或“假”，习惯上，把“真”记为“1”，“假”记为“0”，这里“1”和“0”不表示数量的大小，表示完全对立的两种状态。 2.1.2 逻辑代数运算 基本逻辑运算——与、或、非；复合逻辑运算。 描述方法：逻辑表达式、真值表、逻辑符号（电路图） 。 定义：真值表——描述各个变量取值组合和函数取值之间的对应关系。 逻辑电平——正逻辑与负逻辑。 2.1.3 逻辑代数的公理和基本公式 2.1.3.1 逻辑代数公理 有关逻辑常量的基本逻辑运算规则，以及逻辑变量的取值。 (1) 常量的“非”逻辑运算 (2~4) 常量的与、或逻辑运算 (5) 逻辑状态只有”0”和”1”两种取值 2.1.3.2 逻辑代数的基本公式（基本定律） 所谓“公式”，即“定律”，如表2. 1： 表2. 1 逻辑代数的公式（基本公式部分） 组 名称 对偶的公式对 备注 1 01律 变量与常量 2 重叠律 同一个变量 3 互补律 原变量与反变量之间的关系 4 还原律 5 交换律 6 结合律 7 分配律 8 反演律 DeMorgan公式 2.1.3.3 逻辑代数的三个基本定理 所谓“定理”，即代数运算规则。 基本的三个定理： 代入定理——在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外的逻辑式代入式中的所有A的位置，则等式依然成立。， 反演定理， 对偶定理。 2.1.3.3.1 反演定理 所谓“反演定理”，得到逻辑函数的“反”的定理。 定义（反演定理）：将函数Y式中的所有… （基本运算符号）“与”换成“或”，“或”换成“与”； （逻辑常量）“0”换成“1”，“1”换成“0”； 原变量换成反变量，反变量换成原变量； 注意： 变换时要保持原式中逻辑运算的优先顺序； 不属于单个变量上的反号应保持不变； 则，所得到的表达式是的表达式。 例2.1: 已知，求。 解：（利用反演定理） 例2.2: 已知，求。 解：（利用反演定理） 例2.3: （反演律和反演定理），已知Y=A(B+C)+CD，求。 解：（方法一、用反演定理） 解：（方法二、反复用反演律） 注意：对等式两端根据反演定理进行操作是整体性的 “原子操作”，不允许在进行操作的同时，对局部的逻辑项进行所谓的“代入”、“反演律”等操作。 2.1.3.3.2 对偶定理 定义（对偶定理）：若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 定义（对偶式）：将逻辑式中的… （基本运算符号）“与”换成“或”，“或”换成“与”； （逻辑常量）“0”换成“1”，“1”换成“0”； 变量保持不变； 注意：原表达式中的运算优先顺序保持不变。 2.1.4 逻辑代数常用公式 如表2. 2：  表2. 2 逻辑代数的公式（常用公式部分） 组 杜撰的名称 对偶的公式对 备注和注记标记 9 吸收法 A+AB=A 两个乘积项相或，其中一项以另一项作为因子，则该项是多余的。 吸收冗余项 10 消元法 消除冗余因子 11 推广的消元/吸收法 反用消元法，再用吸收法 12 推广的消元/吸收法 13 另一种形式的吸收法 14 另一种形式的消元法 说明：（常用公式的语言叙述） “吸收法”——两个与项（“乘积项”）相或（“加”），如果其中一项中以另一项为因子，则该项为冗余项； “消元（因子）法”——两个与项相或，如果其中一项取反后为另一项的因子，则该因子是多余的； 推广的消元/吸收法——三个与项相或，其中两个乘积项分别包含原变量与反变量作为因子，并且它们的其余部分作为因子组成第三个乘积项（或作为第三个乘积项的部分因子），则第三个乘积项是多余的。 2.1.4.1 案例研究——逻辑代数常用公式的证明 证明的手段： 公理和运算法则， 定理——代入、反演、对偶， 基本公式和常用公式。 例如：公式(9)“吸收法” A+AB=A(1+B)=AB，分配律、01律 例如：公式(10) 证法一 采用：反用或对与的分配律 例如：公式(10) 证法二 的对偶式?? 由：，AB的对偶式A+B，则根据对偶定理：成立。 例如：公式(11) --(代入定理意义下的吸收律)? = 2.1.5 异或代数 三种基本逻辑运算——“与”、“或”、“非”（复合使用）可以表示出任何逻辑问题； 基本的复合逻辑——“与非”、“或非”、“与或非”，用其