非线性方程组上机报告.docxVIP

非线性方程组数值解法上机报告（一）问题：求解下列非线性方程组：（1）取初值，求解（2）取初值，求解（二）解决问题的算法为了观察结果的收敛性质，没有采用库函数直接求值，而是自己编写程序求解。可以采用的非线性方程组解法有：（1）非线性古典迭代法本题采用了非线性Gauss-Seidel迭代算法：for k = 0,1,2…for i = 1,2,…,n用非线性方程的解法器解得出uend如果迭代停止条件满足，终止循环并输出end其中非线性方程解法器可以采用牛顿迭代法：（2）牛顿迭代法记为Jacobi矩阵：若可逆，并记逆为，则有：（三）使用的软件IDL（四）数值结果（1）采用牛顿迭代法来求解，可以得到：（2）由于对于给定的初值，不可逆，所以不能采用牛顿迭代法来求解。采用收敛较慢的非线性Gauss-Seidel迭代算法，可以求得：（五）数值结果分析（1）方程组两式相减消去，可以得到关于的一元三次方程，可以得到该方程组有且只有一个解：和牛顿迭代法得到的数值解相同。下面分析其收敛性：kx110.1429-125360.964872321.3106-1940617671-188900.125088712.0909-1729306127-1.121341042.15951.180551123.9894-1.299981226.90750.0530161311.1087-1.288711427.49560.0961921511.7060-1.255821629.39200.2356461713.4733-1.168111836.39820.7532131919.0265-1.055962055.54762.1765421231.244-38.747322-1642.87-25.648023-746.71-16.932524-340.394-11.145825-154.255-7.3181026-67.5120-4.8002827-25.7843-3.1496528-4.22783-251032-1.185613034.69250.6269453117.7222-1.051603256.82912.2720133-262.49153.084734-2593.0235.644635-1115.524.035436-469.37616.323637-189.40011.227138-70.01107.9031939-20.69585.8113140-1.819704998594963804999944000004000004000004000004000004000004000004.00000其中k为迭代次数，x为该次迭代以后得到的数值解。可以看出在给定的初值条件下，收敛速度比预想的要慢得多。画出每次迭代得到的结果在二维平面内的分布：可以看出给定初值的条件下牛顿解法的稳定性较差。这是因为给定的初值(15,-2)T距离方程（1）的解析解(5,4)T较远，处于牛顿解法的二次收敛的收敛域之外，可以在一维情形下简单分析初值处于牛顿解法的二次收敛的收敛域之外时数值解的不稳定现象：经过初值给定后的最初的不确定的震荡后，一旦某一个值落入收敛域，就会得到准确解。此外，使用broyden法库函数求解，会发现结果并不是方程的解。得到的数值解是：(13.597370,-0T此时两个方程的余量是：(7.1335463,-2.7643579)T这也是初值距离解析解太远造成的。（2）把第2、3个方程带入第1个方程，可以得到方程的解析解：可以看出使用非线性Gauss-Seidel迭代算法，得到的数值解一致。下面分析其收敛性：kx11.36603-0.366031.6339721.48194-0.481941.5180631.56947-0.569471.4305341.62151-0.621511.3784951.64727-0.647271.3527361.65866-0.658661.3413471.66342-0.663421.3365881.66536-0.665361.3346491.66614-0.66614166646-0.666461.33354kx111.66658-0.66658166663-0.66663166665-0.666651.333351