非线性方程课程设计.docxVIP

非线性方程根的数值求法（二）1 题目内容1.1 题目的复述 （1）用简单迭代法求下列方程的根，要求有6位有效数字， 改变初值的选取，对出现的情况进行总结分析；构造收敛速度尽可能高的迭代法，并求根。（2）用牛顿法求下列方程的根，要求有6位有效数字，x=ctgx；改变初值的选取，对出现的情况进行总结分析；若要求方程的最小正根和在 附近的根，初值应如何选取？ 并讨论初值的变化对收敛的影响。（3）探讨用其它方法来求（1）和（2）中的非线性方程的根（如二分法、弦割法、抛物线法等）。（4）上面计算结果精度可达10位以上有效数字吗？说明实现过程，并举例。问题分析2.1 问题的分析我们都会解一元一次方程和一元二次方程，三次以上方程就不会解了。事实上，三次和四次方程的求根公式很复杂，五次以上代数方程一般无求根公式，超越方程也只能求近似解。考察形式如下的方程：该方程是隐式的，也不能直接得出它的根，只能通过迭代法求出它的近似解。如果给出根的某个猜测值x0，将它代入方程式中，即可求得。然后又可以取为猜测值，代入方程式中，如此反复迭代。如果按以下公式： ，k=0,1,2,…确定的数列有极限=,则称方程迭代过程收敛。这时迭代值显然是方程的根。本次课题是用迭代法求非线性方程根。首先我们要理解迭代法求解非线性方程根的基本算法，确定迭代格式，如（1）中方程，构造迭代格式为：。然后按题目要求，将相关求非线性方程迭代算法用c++语言实现编程，在程序运行中输入初始值，求出方程根。最后用多种迭代法分别用不同的初始值进行求方程根，对得到的收敛速度和求根结果进行总结分析。3 算法描述3.1 简单迭代法3.1.1 简单迭代法的原理简单迭代法的基本思想是：设方程 …（1）有解，把方程改写为等价形式 … （2）选定的初始值x0进行迭代： …（3）得迭代序列。当 k 足够大时，用 xk 作为f (x) = 0的近似解。这样求解方程f (x)=0根近似值的方法称为简单迭代函数，g (x)称为迭代函数；（3）式称为迭代格式。3.1.2 简单迭代法的几何解析求方程的根，在几何上就是求直线y=x与曲线y=g(x)交点的横坐标。3.1.3 简单迭代法的收敛依据 定理 若 ，则 （设连续）（即根）。3.1.4 简单迭代法收敛的条件定理1 （充分条件）若g (x)满足如下条件x1, x2? I, $q ? (0, 1) 使得| g (x2) – g (x1)| ￡ q |x2 – x1| （Lipschitz条件）；，则 （1）存在唯一点使 ；（2），由（3）式得{xk}且。（3）。注 （1）条件（1）可改为 ，； （2）可以近似代替。3.1.5 简单迭代法的局部收敛性若 ，使 对都收敛，则称上迭代是局部收敛的。定理2 若在根的某个邻域内有连续导数，且，则上迭代有局部收敛性。3.1.6 简单迭代法的收敛阶定义 设某迭代有局部收敛性，记ek = s – xk 1 0, k = 0, 1, …, 如果存在正实数r和c使成立，则称该迭代是r阶收敛的。r=1时又称有线性收敛速度；r=2称平方收敛。定理3 设I = [a, b]，，， ，s = g (s) ? I，g (k) (s) = 0, k = 1, 2,…, m – 1, g (m) (s) 1 0，则对任何x0 ? I (x0 1 s)，由迭代法产生的序列{xk}以m阶敛速收敛于s。3.2 牛顿迭代法3.2.1 牛顿迭代法原理设已知方程的近似根,则在附近可用一阶泰勒多项式近似代替.因此, 方程可近似地表示为.用表示的根,它与的根差异不大. 设,由于满足解得重复这一过程,得到迭代格式这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为.3.2.2 牛顿迭代法的几何解析在处作曲线的切线，切线方程为。令，可得切线与轴的交点坐标，这就是牛顿法的迭代公式。因此，牛顿法又称“切线法”。3.2.3 牛顿迭代法的收敛性计算可得,设是的单根,有,则,故在附近,有.根据不动点原理知牛顿迭代法收敛.3.2.4 牛顿迭代法的收敛速度定理(牛顿法收敛定理) 设在区间上有二阶连续导数,且满足,在上不变号, 在上不等于0,令有.则对任意,牛顿迭代格式收敛于在中的唯一实根,并且:(1) (2) (3) ,牛顿迭代法为2阶收敛.3.2.5 迭代过程的加速对不动点方程,它导出的迭代过程有可能发散,也可能收敛得非常缓慢.这时,我们有没有办法改进不动点方程,让迭代过程收敛得快一些呢? (1)一个简单的方法 注意到和都是不动点方程,他们的加权平均也是不动点方程,而且与有完全相同的不动点.适当选取的值,可以使发散的迭代过程变得收敛,使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速.(2)加速的原因 在下面的实验中我们可以看到,在不动点附近的导数值在很大程度上决定了迭代过程的收敛性.的绝对值