《成才之路》高二数学(人教A版)选修能力拓展提升：双曲线的简单几何性质.docVIP

能力拓展提升一、选择题 11．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x [答案]　D [解析]　＝，＝＝，＝， ＝，＝. 又双曲线的焦点在y轴上， 双曲线的渐近线方程为y＝±x， 所求双曲线的渐近线方程为y＝±x. 12．(2013·新课标理，4)已知双曲线C：－＝1(a0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x [答案]　C [解析]　e＝＝，＝， b2＝a2－a2＝， ＝，即渐近线方程为y＝±x. 13．已知双曲线－＝1(b0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝(　　) A．－12　　　 B．－2　　　　 C．0　　　　 D．4 [答案]　C [解析]　本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质． 由题意得b2＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)， 又点P(，y0)在双曲线上，y＝1， ·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故选C. 14．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [答案]　B [解析]　设双曲线方程为－＝1(a0，b0)． MF1F2为等腰三角形，F1MF2＝120°， MF1F2＝30°，tan30°＝＝，＝， ＝1－()2＝，()2＝，e＝. 二、填空题 15．已知双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则其离心率为________． [答案]　或 [解析]　若双曲线焦点在x轴上，依题意得，＝4， ＝16，即＝16，e2＝17，e＝. 若双曲线焦点在y轴上，依题意得，＝4. ＝，＝，即＝. e2＝，故e＝， 即双曲线的离心率是或. 16．已知双曲线－＝1(a0，b0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的方程为________． [答案]　－＝1 [解析]　椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，离心率为e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7. 又曲线的离心率e＝＝，所以＝， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为－＝1. 三、解答题 17．若F1，F2是双曲线－＝1的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求F1PF2的大小． [分析]　条件给出了|PF1|·|PF2|＝32，自然联想到定义式||PF1|－|PF2||＝2a＝6，欲求F1PF2可考虑应用余弦定理． [解析]　由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，所以c＝5. 由双曲线的定义得， ||PF1|－|PF2||＝2a＝6. 上式两边平方得， |PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝100， 由余弦定理得， cosF1PF2＝ ＝＝0， 所以F1PF2＝90°. [点评]　在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系． 18．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0) (1)求双曲线方程； (2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程． [解析]　(1)由题意可设所求的双曲线方程为 －＝1(a0，b0)， 则有e＝＝2，c＝2，a＝1，则b＝， 所求的双曲线方程为x2－＝1. (2)直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0) l的斜率k一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2) 令x＝0得M(0,2k) ||＝2||且M、Q、F共线于l ＝2或＝－2 当＝2时，xQ＝－，yQ＝k，Q， Q在双曲线x2－＝1上， －＝1，k＝±， 当＝－2时， 同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得， 16－＝1，k＝±， 则所求的直线l的方程为： y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．