(本科毕业论文三元域上矩阵空间的保幂映射.docVIP

三元域上矩阵空间的保幂映射 【摘要】本文首先介绍了矩阵空间上的保持问题的背景及保幂问题的研究现状.并在此基础上刻画了三元域上矩阵空间的保幂映射的相关性质及定理，并对两个定理给出了自己的证明. 【关键词】保持问题；保幂等；映射；三元域 1 引言 1.1课题背景与发展状况 矩阵空间的保幂映射是矩阵空间保持问题的分支之一，因此了解保持问题的背景及其发展状况等对于本课题的研究是不可或缺的，下面我将分方面介绍保持问题的一些相关知识，以便更好的理解本文的研究背景. 设为两个矩阵空间，刻画从到的保持某些函数、子集、关系、变换等不变量的映射的结构问题称为保持问题.保持问题在微分方程，系统控制，量子力学等领域有着广泛的实际应用背景.如在解答微分方程时，为了简化问题，通常人们在解决一个问题之前可能会对其做一变换，一般要求变换应该是简单的且具有较好的性质的；再如，在量子系统的矩阵模型中，我们想找在系统变形时不影响熵的算子，这些都与保持问题有关.不仅如此，保持问题的结果在李代数等很多其他数学分支中都有应用.因此这一问题已成为国际上矩阵论领域中的热门研究课题之一. 有关于保持问题的研究最早始于1897年Frobenius给出的保行列式的线性变换的刻画.而一直到了二十世纪六十年代美国矩阵论专家Marcus研究了秩1保持这一核心问题之后，这一方面的成果才大批出现.特别是近四十年，保持问题发展迅速，分发出了许许多多的分支.如果从保持不变量的角度出发，保持问题可分为:保持行列式问题，保秩问题，保秩1问题，保相似问题，保广义逆问题，保幂等问题，保粘切问题，保伴随问题，保秩可加问题,保对合问题，保交换、保幂零、保谱、保迹问题等等；如果从矩阵代数的角度出发，保持问题可分为:全矩阵代数的保持问题，三角矩阵代数的保持问题，对称矩阵代数的保持问题等等；如果从算子的角度出发，保持问题可分为:线性保持问题，可加保持问题持问题，一般保持问题等等. 对于保持问题的研究，数学家们首先着手研究的自然是线性保持这个比较特殊的领域，并且在这个领域的研究上取得了丰硕的成果.而随着线性保持问题研究的日益成熟，人们自然将研究的重点转向加法保持问题和一般的保持问题上.1991年M.Omladic和P.Semrl首先考虑用加法算子代替线性算子，开始了加法保持问题的研究，1993年，他们得到了复矩阵秩1的保持结果. 1996年，张显和曹重光将问题的研究引向一般域上的矩阵. 显然这类问题是LPP的推广，但由于不能应用线性空间的理论及系数交换的性质，使得这类问题的难度和技巧性增强了. 后来，随着加法保持问题研究的不断深入及其结果的不断完善，人们又减少了映射的条件，把线性和加法的条件都去掉，研究更一般的仅仅满足某种条件的保持问题.我们把这种问题称为一般保持问题.由于这种保持问题不再有线性和加法运算，所以大大增加了推导过程的难度，同时也需要更高的技巧.目前，这一类问题是保持问题中比较热门的研究课题之一，本论文的研究保幂映射即属于一般保持问题的其中一个分支. 1.2保幂映射问题的研究现状 保幂映射问题的研究起始于数学物理中的某些问题(参见文献).Ovchin-Nikov得到了幂等矩阵偏序集上的自同构的形式.他所得到的结果在量子机械不变量的研究中是非常有用的.Molnar用这个结果改进了Wigner定理.另外，幂等集上的一些保持结果可用于刻画矩阵半群上的一般保持问题、矩阵几何，还可用于刻画李代数上的保持问题(参见文献[7]和[8]).李代数作为代数学中的一个重要的分支学科，其价值是不言而喻的，因此研究保持幂等方面性质的保持问题也是极其重要的.下面我们一起来对保幂问题做一个系统的认识. 设（为矩阵空间），且有正整数，使得，则称为幂等矩阵，也称幂等元，特别的，当时，为幂等矩阵（幂等元），当时，为立方幂等矩阵（立方幂等元）映射称为是保幂等的，如果对任意的幂等元都有是幂等元，即由可以推出.映射称为是保持幂等关系的，如果对任意的都有是幂等元当且仅当是幂等元.设是一个偏序集， 如果对任意的，如果有，则称.如果映射满足对任意的都有 ())，则称是(双向)保序的.对任意的，如果，则称正交，记作.映射如果满足对任意的都有 ())，则称是(双向)保正交的.在1993年ovchinnikov首先得到了幂等矩阵偏序集上的双向保序的双射的形式之后，P.semrl、G.Dolina:、A.Foner及张显等许多学者都开始了这方面的研究，并取得了大量的成果.我们将分特征不为2的域上的全矩阵空间，对称矩阵空间，上三角矩阵空间和特征为2的域上的全矩阵空间以及三元域上矩阵空间等四部分来介绍他们的研究结果. 1.2.1特征不为2的域上的全矩阵空间 Ovchillllikov于1993年首先得到了幂等矩阵偏序集上的自同构的形式. 定理1.1