鱼群问题.docxVIP

题目：为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组的自然死亡率为0.8（/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109ⅹ1011（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为1.22ⅹ1011/（1.22ⅹ1011 + n）。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42∶1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。本题提出了两个问题：（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。摘要题目是关于捕鱼的稳定与优化问题，因此针对本题特点建立了一个对某种鱼的最优捕捞策略的动态综合模型。利用微积分列出各年龄组鱼群在一年中各时刻的数量分布函数X（t）。用差分法确定各年龄组鱼群数量之间的递推关系，根据动态平衡的原理得出在满足持续捕捞条件下各年龄组鱼群数量与捕捞强度之间的关系。算出捕捞强度的范围，即得到了所求的最大捕捞强度。由于第二个问题采用固定努力量的捕捞方式，所以将问题转换为求一个适当的捕捞强度，使得鱼群在生产能力不受到太大破坏的情况下获得最大收获量。问题重述对于可再生资源的开发必须考虑在可持续收获的前提下追求最优的捕捞策略。下面表格是某渔场中一种鱼群各年龄群的数据：年龄群平均质量（g）产卵量（个）成活率死亡率（/年）15.0701.22×10^11/（1.22×10^11 + n）0.8211.550317.861/2×1.109×10^11422.991.109×10^11每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业，并且只能捕捞3、4龄鱼，捕捞强度为0.42:1。问题：建立数学模型分析在得到最高的年收获量的前提下实现可持续收获。某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×10^9条），用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。二、符号说明A 年总死亡率，即在一年中死亡的鱼的数目除以最初的鱼的数目F 瞬时捕捞死亡率，当捕捞与自然死亡同时出现时，F等于瞬时总死亡率乘以捕捞死亡数对总死亡数的比率S 残存率，鱼类生存在一特定时间之后所剩数目除以最初鱼的数目Z 瞬时死亡率，残存率的自然对数（改变正负号）M 瞬时自然死亡率，当捕捞和自然死亡率同时存在时，M等于瞬时总死亡率乘以自然死亡数对总死亡数的比率 最大可持续产量，在现有环境条件下可以取得的最高平均年收获量 捕捞强度，单位时间内捕获量与各年龄组鱼群数目的比T1某一时期始被捕鱼群的数目T2某一时期末被捕鱼群的数目R 鱼群的补充量 G鱼群的生长量 M 鱼群的死亡量 Y 鱼群的捕获量 1龄鱼的数量 2龄鱼的数量 3龄鱼的数量 4龄鱼的数量 产卵总量 3龄鱼的捕捞率 4龄鱼的捕捞率问题分析捕鱼的稳定与优化问题在于捕捞过少会造成资源浪费达不到最佳效益，而捕捞过度则影响资源再生导致枯竭。因此问题的关键在于找出一个在得到最高的年收获量的前提下实现可持续收获的捕捞率。问题假设由于各年龄组的鱼的自然死亡率都相同，所以假设每条鱼在任一时刻的自然死亡率相同，且鱼的死亡在时间上是连续的。每年前8个月的任一段时间内的捕鱼量完全与鱼群的数目成正比。为了计算方便，设所有3、4龄鱼都在9月初瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕。所有4龄鱼如果没被捕获，在一年后均死亡。捕捞只使用固定努力量的捕捞方式。在固定努力量的捕捞方式下，单位时间捕捞量将与3、4龄鱼群成正比。外界条件不变，渔场封闭，无外界鱼进入。模型建立鱼群数量变动的原理如下图：=+R+G-