(平面向量的应用.docVIP

向量问题的坐标解法 向量的坐标表示是将几何问题代数化，用坐标法解决向量问题思路清晰，操作简单方便，下举例说明。 例1. 设O在△ABC的内部且满足，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（） A. 2 B. C. 3 D. 解：如图1建立坐标系。 图1 设A（0，0），B（a，b），C（c，0），O（x，y），则 因为 即 所以 从而 说明：原解答分别取AC、BC中点求解，同学们不易想到，而建立坐标系求解则轻松、自然。 例2. 四边形ABCD中，若，求。 解：如图2建立坐标系。 图2 设，则 代入已知条件得： 即 所以 例3. 设P为△ABC所在平面内一点，求取最小值时P点的位置。 解：设 则 （其中m为常数） 所以，当 即P为△ABC的重心时，取得最小值。 例4. P为△ABC所在平面内一点。求证： 证明：如图3建立坐标系。 图3 设，则 从而 说明：原解答利用垂心的性质证之，要求较高，证法较烦，显然坐标解法相对简练。 例5. O为△ABC内一点，记，求证： 证明：如图4建立坐标系。 图4 设 则 从而 由于 故 所以 平面向量数量积的八大热点问题 一、平行问题 这类题主要考查向量平行的充要条件：若向量，且，则。 例1. （2005广东）已知向量，且，则_______。 解：由，根据向量平行的充要条件，得： ，解得。应填4。 二、垂直问题 这类问题主要考查两向量垂直的充要条件：若向量，则。 例2. （2005福建）在△ABC中，∠C＝90°，，则k的值是（ ） A. 5 B. C. D. 解：由，又∠C＝90°，则 由向量垂直的充要条件，得： ，解得k＝5 故选A。 点评：本题运用∠C＝90°，转化为，进而转化为，从而求出k。 三、求模问题 若则，或，对于求模有时还运用平方法。 例3. （2005湖北）已知向量，若不超过5，则k的取值范围是__________。 解：由，又，由模的定义，得： 解得：，故填。 评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。 例4. （1）（2004全国）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么＝（ ） A. B. C. D. 4 （2）（2004湖南）已知向量，向量，则的最大值是___________。 解：（1） 所以，故选C。 （2）由题意，知 又 则的最大值为4。 评注：模的问题采用平方法能使过程简化。 四、求夹角问题 求夹角可用解决。 例5. （2005北京）若，且，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解：设所求两向量的夹角为θ，由，有 ，即 又 所以θ＝120°，而选C。 五、辩析型问题 主要考查向量的数量积是向量间的一种乘法运算，结果是一个数量，注意与实数的乘法运算区别，特别是不满足结合律，消去律。 例6. （2004湖北）已知为非零的平面向量。甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解：命题甲：由 得 从而，或，或。 命题乙： 故乙甲，但甲，故甲是乙的必要但不充分条件，而选B。 六、求向量 例7. （2004江苏）平面向量中，已知，且，则向量____________。 解：设所成的角为 又，则 故向量共线并同向 又，故 七、求数量积 例8. （2004浙江）已知平面上三点A、B、C满足，则的值等于___________。 解法1：运用定义 以上三式相加，得所求为 解法2：整体处理 由 即 得，故填。 解法3：挖掘隐含。 由平面上三点A，B，C构成以B为直角顶点的直角三角形，知 故 八、交汇问题 是指向量与立几、解几、数列、三角等的交汇题，创新题。 例9. （1）（2005上海）直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________________。 （2）（2005湖南）已知直线与圆相交于A、B两点，且，则___________。 解：（1）由，有 ，即 故应填 （2）先由圆的几何性质，求得两向量的夹角是120°，则 故填。 评注：第（2）小题关键是运用几何法求出两向量的夹角，再运用向量的数量积公式即可。 向量在代数中的应用 向量作为工具性知识已列入中学教材之中，其应用价值已被广大师生认可。用向量知识解题，方法新颖、运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一。但向量是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。下面就介绍这方面的应用。 1. 等式证明 证明等式一般说来都要进行繁杂的运算，如果等式具有向量代数某些特征时，