专题15空间线线距异面直线间的距离线面距和面面距的求法.docVIP

第15讲 ：空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法 【考纲要求】 1、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）了解向量方法在研究几何问题中的应用.[来源:学*科*网] 常求法①先证线段ＡＢ为异面直线的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②如图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之间的距离是 平行平面之间的距离，其中是平面的法向量 二、上面四种距离都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离距离距离证线段ＡＢ为异面直线的公垂线段求出ＡＢ的长即可．求a和b 的法向量 a、b是两异面直线求向量(点E∈a，F∈b，代入异面直线 a与b之间的距离 例1．如图2，正四棱锥的高，底边长。求异面直线和之间的距离？ 分析：建立如图所示的直角坐标系，则 ， ，[来源:Zxxk.Com] ，， 。 ，。 令向量，且， 则，，， ，。 例2 如图，已知正方体ＡＢＣＤ－棱长为， 求异面直线ＢＤ与Ｃ的距离． 解法一：连结ＡＣ交ＢＤ的中点Ｏ，取的中点Ｍ，连结ＢＭ交于Ｅ，连，则，过Ｅ作ＥＦ／／ＯＭ交ＯＢ于Ｆ，则。 又斜线的射影为ＡＣ，ＢＤＡＣ，。 同理，为ＢＤ与的公垂线，由于Ｍ为的中点，∽，。 ，ＥＦ／／ＯＭ，，故ＯＢ＝，． 解法三．（转化为面面距）易证平面／／平面，用等体积法易得Ａ到平面距离为斜边上的高。 解法五。（函数最小值法）如图，在上取一点M，作MEBC于E，过E作ENBD交BD于N，易知MN为BD与的公垂线时，MN最小。 设BE=，CE=ME=，EN=， MN====。 当时，时，。 【点评】求异面直线间的距离的方法较多，可以根据具体情况灵活选用。 【变式演练1】 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距 离. 直线到平面的距离 方法一 几何法 使用情景 直线上一点在平面的射影位置比较容易确定。 解题步骤 找作证（定义）求（解三角形） 方法二 向量法 使用情景 直线上的点在平面内的射影位置不好确定，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。 解题步骤 建立空间直角坐标系求平面的法向量求平面的斜向量的坐标（）代入公式，即得直线到平面的距离。 （2） ∵ B1B∥A1A，∴ B1B⊥BC，即侧面BB1C1C为矩形。 ∴ 又，∴ S全= （3）∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB，∴ cos∠A1AO= ∴ sin∠A1AO=，∴ A1O=A1Asin∠A1AO= ∴ （4）把线A1A到侧面BB1C1C的距离转化为点A或A1到平面BB1C1C的距离 为了找到A1在侧面BB1C1C上的射影，首先要找到侧面BB1C1C的垂面 设平面AA1M交侧面BB1C1C于MM1 ∵ BC⊥AM，BC⊥A1A ∴ BC⊥平面AA1M1M ∴ 平面AA1M1M⊥侧面BCC1B1 在平行四边形AA1M1M中 过A1作A1H⊥M1M，H为垂足 则A1H⊥侧面BB1C1C ∴ 线段A1H长度就是A1A到侧面BB1C1C的距离 ∴ 【点评】：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用作垂线。 【变式演练2】已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。（1）求点到直线AC的距离。（2）求直线到平面的距离。 例4 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图： （1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1； （2）求(1)中两个平行平面间的距离； （3）求点B1到平面A1BC1的距离。 解：（1）证明：由于BC1∥AD1，则BC1∥平面ACD1，[来源:学,科,网] 同理，A1B∥平面ACD1，则平面A1BC1∥平面ACD1。 （2）解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离。易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=，则sinA1BC1=，则S=。 由于，则S·d=·BB1，代入求得d=，即两平行平面间的距离为。 （3）解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由（2）知点B1到平面A1BC1的距离等于。 【高考精选传真】 1.【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（ ）[来源:学科网] A 2 B C D 1 【反馈训练】 1、三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距