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* 大学物理习题课 ——磁学部分 * 稳恒磁场与电磁相互作用 一. 磁感应强度 的计算 1) 叠加法或积分法 : 电流元的磁场分布 2) 应用安培环路定理 : 3) 典型磁场 : 长直导线的磁场: ( 无限长 ) ( 有限长 ) ( 半限长 ) * 圆电流轴线上: ( 方向沿轴线方向 ) ( 圆电流中心 ) （ 为圆心角） 载流圆柱体: * 通电螺线管: ( 无限长管内任一点 ) ( 有限长轴线上 ) ( 半限长面中心处 ) 二.磁场的性质 1. 无源场; 2. 有旋场; * 三. 磁场力 1. 运动电荷受力: 2. 电流元受力: 3. 载流线圈受磁力矩: 磁矩: * 四. 磁介质 磁介质中的高斯定理: 磁介质中的安培环路定理: 磁场强度： * （掌握符号规则） 电磁感应 （搞清两个夹角） 法拉第电磁感应定律 动生电动势 感生电动势 感生电场（非保守场） 1. 感应电动势 * 2. 自感和互感 3. 磁场能量 * 练习1. 一根无限长的直导线在P处弯成半径为R的细圆环，如图所示，当通以电流I时，圆心O处的磁感应强度的大小为( )： 答案: (C) O R P * 练习2. 将两条无限长的直导线分别从中间部分弯成半径为R的半圆弧和1/4圆弧，如图所示，当通以电流I时，圆心O处的磁感应强度为( )： 答案: (A) R O R O * 1. 在 xy 平面内,有一宽度为 L 的无限长载流薄金属板,沿 x 方向单位长度上的电流（线电流密度）为 ?。 试求: x 轴上 P 点的磁感应强度的大小和方向; 解：在x处取宽度为dx的无限载流窄长条；其电流 其在 P 点的磁感应强度为： 整个载流金属板在 P 点的磁场 * 根据对称性分析： 解： 例2 如图一通有电流 、半径为 的半圆形导线放在磁感应强度为 的均匀磁场中，导线平面与磁感强度 垂直。求磁场作用于导线的力。 A B C o * 因 A B C o * 3. 一半径为R的无限长导体圆柱，在离轴线d处挖去半径为r0(r0d)的无限长小圆柱，两圆柱的轴线互相平行，余下部分沿轴向流过均匀的电流密度。求: (1) 大圆柱轴线上的磁感应强度； (2) 空圆柱轴线上的磁感应强度； (3) 证明挖空部分为均匀磁场 O O’ j 解：采用填补法，将此空心圆柱假想为电流密度为j、半径为R的实心圆柱电流与电流密度为-j的半径为r0的实心圆柱电流的叠加 * 半径为R的载流圆柱体在OO轴上产生的磁场B1=0；半径为r0的载流圆柱在OO轴上产生的磁感应强度由安培环路定理得 方向：垂直于纸面向外 即，大圆柱轴线上的磁感应强度 方向：垂直于纸面向外 * (2) 同理，半径为R的载流圆柱体在O’O’轴上产生的磁感应强度由安培环路定理得 方向：垂直于纸面向里 半径为r0的载流圆柱在O’O’轴上产生的磁感应强度B0’=0 方向：垂直于纸面向里 所以，空圆柱轴线上的磁感应强度 * O P O’ r2 r1 R (3) 如图所示，设P为空心圆柱内的任一点，设OP=r1, O‘P=r2，-j电流在P点产生的磁感应强度由安培环路定理得 j在P点产生的磁感应强度为 所以，P点磁感应强度为 d由OO指向O’O’ 故，空心部分为大小和方向均不变的均匀磁场， 得证 * 解法一:分别考虑动生电动势和感生电动势 AC: C?A BD: D?B 例4 如图，已知无限长载流直导线中通有电流I=I(t)，与其共面的矩形导体线框以速度 垂直于载流直导线向右运动，求矩形导体线框中的感应电动势 a b c A B C D I 方向:C?A ?B ?D * a b c A B C D I 矩形框的法线方向为垂直向内（ C?A ?B ?D ） * 练习5 如图所示，一根长直导线与一等边三角形线圈 ABC 共面放置， 三角形高为 h ，AB 边平行于直导线，且与直导线的距离为 b ，三角形线 圈中通有电流 I=I0sinωt，电流 I 的方向如箭头所示，求直导线中的感生 电动势。 解答提示 设长直导线为线圈 1，三角形回路为线圈 2 ， 并设长直导线通过电流为 I1, 求三角形回路磁通量φ： A B C I h b r O r * 解： 练习 长为 载有电流 的导线与电流为 的长直导线 放在同一平面内（如图），求作用在长为 的载流导线上的磁场力。 O d * 讨论： （1） （2） O d * 6. 一细而薄的圆柱面长为l、半径为a，其上均匀带电，面电荷密度为?。若圆柱面以恒定的角加速度?绕中心轴转动，若不计边缘效应，试求： 圆柱壳内磁场的磁感应强度 圆柱壳内电场的强度 圆柱壳内的磁场能和电场能 解： 则 (1)圆柱面内