第 9节 时钟问题精品参考资料.doc

第9节 时钟问题 【内容 例题】 钟面上的时针和分针一慢一快，朝着同一个方向不停地运动着，就好像是两个人在环形跑道上赛跑，一会儿两针成直角、一会儿两针在一条直线上；一会儿分针追上了时针，一会儿分针又超过了时针。因此，小学数学竞赛中常常根据这一特殊的现象编出一些十分有趣的数学问题。解这类时钟问题，看上去好像很复杂，但我们运用行程问题中的“追及问题”的基本思路去分析，解起来就不困难了。 【例l】从时针指向4点开始，至少再经过多少分钟时针正好和分针重合？ 【分析】 钟面的一周分为60小格，分针每小时走60小格，每分钟走1小格； 时针每小时走5小格，每分钟走。 每分钟分针比时针多走小格。 4点整，时针在前，分针在后，两针相距20小格。 分针走的快，时针走的慢，从4点开始两针同时走，两针要重合，就是分针要追赶上时针。 这就可与追及问题 类比：“追及路程”是20小格，“速度差”是，求追及时间。 【解】 20÷= 20÷=20×=（分）。 答：再经过21暑分钟时针正好和分针重合。 【评注】此题也可以这样解： 因为时针l小时走1个字，分针l小时走12个字，所以从4点开始，到分针与时针重合，所用时间为 此题还可以这样解： 4÷（12－1） =（小时） =（分） 分针60分钟走一周，转动角度为， 所以分针1分钟走了 时针l小时走了， 所以时针1分钟走了 因4点时，分针和时针的夹角为， 设在4点x分钟时，分针和时针重合，由题意得 6ox=120o+0.5ox。 x=。 所以再过分钟分针和时针重合。 【例2】6点整时，分针与时针正好在一条直线上，至少再经过多少分钟，两针正好垂直？ 【分析】 由上例的分析可知，6点整，时针指向6， 分针指向12，分针比时针落后30小格。 时针与分针垂直，则分针比时针落后15小格或时针比分针落后15小格。 由于问题是“至少再经过多少分钟，两针正好垂直？”所以本题是分针比时针落后15小格。 从“分针比时针落后30格”到“分针比时针落后15格”可见， 分针要“追及”时针30－15=15(小格)，即“追及”路程为15小格。已知速度差，求“追及”时间。 【解】 (30－15)÷=15÷=15×=（分）。 【例3】钟面上3时几分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两旁？ （第一届“九章杯”中国小学生数学竞赛初赛试题） 【分析】 由于时针与分针离“3”的距离相等， 且在“3”的两旁， 所以假设从3时起时针沿反时针方向前进， 那么两针相遇的时间即为所求时间。 相遇时两针共走了3个字，即15小格。 【解】 假设时针沿反时针方向前进，两针相遇时做相向运动，分针的速度为“1”，即每分钟走1小格．时针的速度是“”，两针共走15小格，用 15÷(1+) =15÷ =13（分钟）。 图9－1 答：当钟面上是3小时分，也就是分针 行走分钟时，两针离“3”的距离相等，且在“3”的两旁。 【评注】 (1)如图9－1， ，也就是分针从原来 的位置走到AO位置，同时时针转到OB位置时，才能符合两针在“3”的两旁，且离“3”距离相等。 (2)本题与例l不同的是设分针的速度为“1”，从字“12”到“3”的距离是15小格，求出的时间单位是“分钟”。 (3)本题也可用方程求解：因3点时，分针和时针的夹角为90o。 设钟面上3时过x分，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两旁，由题意得 0.5 o x=90 o－6 o x． 6.5 o x=90 o． x=（分钟）。 【例4】从3点钟开始，分针与时针第二次形成30度角的时间是三点几分？ （北京市第六届小学生“迎春杯”数学竞赛决赛试题） 【分析】 这是一个同向而行的问题。 下午3点时两针成90 o角。 第二次形成30 o角时，分针比时针多走120 o。，从而可求出分针多走多少小格。 90+30= 120(度)。 即在钟面上分针多走的小格是 分针走的速度是l，即每分钟走1小格，时针走的速度是，分针多走20小格，由此得到如下解法。 【解】 20÷ = 20× =（分钟）。 答：所求时间是3点分。 【评注】此题若用方程求解，要比上述思路难。读者不妨一试，以做比较。 【例5】在4点到5点之间，时针与分针何时成直角？ 【分析】 因为4点时，分针在时针后20小格。 两针成直角时，时针与分针之间相差15小格。 这时有两种情况，由此得到如下解法。 【解】 (1)分针在时针后15小格。这种情况分针要比时针多 走(20－15)小格。 (20－15)÷(1－) =5÷=（分）。 (2)分针在时针前15小格。这