直线型压轴题.doc

分）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MGEM，交直线BC于G． （1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形； （2）若点G与点C重合，求线段MG的长； （3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值． 【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，A=∠MDF=90°. ∵M为边AD中点，MA=MD. 在△MAE和△MDF中，， MAE≌△MDF（ASA）.EM=FM. 又MG⊥EM，EG=FG. ∴△EFG是等腰三角形. （2）如答图1， AB=3，AD=4，AE=1，AM=a. BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4. EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2. EM2=1+a2，EC2=4+16=20. CM2=EC2﹣EM2，CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2， CM=． AB∥CD，AEM=∠MFD. 又MCD+∠MFD=90°，AME+∠AEM=90°，AME=∠MCD. ∵∠MAE=∠CDM=90°，MAE∽△CDM. ∴，即，解得a=1或3. 代入CM=得CM=或. 点G与点C重合，MG=或. （3）当点M在AD上时，如答图2，过点M作MNBC交BC于点N， AB=3，AD=4，AE=1，AM=a. ，MD=AD-AM=4-a. A=∠MDF=90°，AME=∠DMF， MAE∽△MDF. ∴，即. . ∴. ∵AD∥BC，MGN=∠DMG. ∵∠AME+∠AEM=90°，AME+∠DMG=90°，AME=∠DMG. ∴∠MGN=∠AME. ∵∠MNG=∠MAE=90°，MNG∽△MAE. ∴，即. . ∴. ∴当a=时，S有最小整数值，S=1+6=7． 当点M在AD的延长线上时，如图3，过点M作MNBC，交BC延长线于点N， AB=3，AD=4，AE=1，AM=a， ，MD=a-4. DC∥AB，MAE∽△MDF. ∴，即. . ∴. ∵∠AME+∠EMN=90°，NMG+∠EMN=90°，AME=∠NMG. ∵∠MNG=∠MAE=90°，MNG∽△MAE. ∴，即. . ∴. ∴当a＞4时，S没有整数值． 综上所述，当a=时，S有最小整数值，S=1+6=7． 【考点】1.单动点问题；2.矩形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4. 等腰三角形的判定和；5.勾股定理；6.相似三角形的判定和性质；7.分类思想的应用. 【分析】（1）利用△MAEMDF，求出EM=FM，再由MGEM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形.www-2-1-cnjy-com （2）利用勾股定理EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，得出CM2=EC2﹣EM2，利用线段关系求出CM．再由△MAECDM，求出a的值，从而求出CM，由点G与点C重合，得到线段MG的长. （3）当点M在AD上时，当点M在AD的延长线上时，作MNBC，交BC于点N，先求出EM，再利用△MAEMDF求出FM，得到EF的值，再由△MNGMAE得出MG的长度，然后用含a的代数式表示△EFG的面积S，指出S的最小整数值． . （2014年江苏连云港14分）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长. （4）如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值. 【答案】解：（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值． 设AP=x，则PB=， 根据题意得这两个正方形面积之和， 当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32． （2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与△DFK．理由如下： 依题意画出图形，如答图1所示． 设AP=a，则PB=BF=． PE∥BF，△APK∽△ABF. ∴，即. . ∴. ∴. ∴. （3）当点P从点A出