直角三角形综合题.docx

1．如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数．（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4 cm，DM=8 cm，AN=5 cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1 cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．①当t=4时，求PH的长．②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）．2. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E为BC上一点，将纸片沿AE翻折，使点E与CD边上的点F重合．（1）求线段EF的长；（2）若线段AF上有动点P（不与A、F重合），如图（2），点P自点A沿AF方向向点F运动，过点P作PM∥EF，PM交AE于M，连接MF，设AP=x（cm），△PMF的面积为y（cm）2，求y与x的函数关系式；（3）在题（2）的条件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，请说明理由．3. 如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后再展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个等腰等腰三角形（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？4.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5. 已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AB=8，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．（1）如图，当AP=3时，求y的值；（2）设AP=x，试用含x的代数式表示y；（3）当y=2时，试确定点P的位置． 6. 如图1，点O在线段AB上，AO=4，OB=2，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC运动，设运动时间为t秒．（1）当t=1秒时，求OP的长和△ABP的面积 ；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；7. 已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=________（s）时，△PBC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．1.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=1