整数矩阵的初等变换在初等数论中的应用总汇.doc

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　编号 学士学位论 文 整数矩阵的初等变换在初等数论中的应用 学生姓名： 康婉玉 学 号： 00000000000 学 　院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2012-2级 指导教师： 张四保 完成日期： 2016 年 4 月 16 日 中文摘要 本文基于整数矩阵对其行（或者列）施加相应的变换，改变以往的解题思路，分别给出求解线性不定方程的简便算法，求若干个整数的最大公因数、最小公倍数以及多项式的最大公因式的若干方法，并通过具体的题型来检验这种方法,该方法的计算过程简便，在数学研究的范围内具有实际的意义. 关键词：整数矩阵；初等变换；不定方程；整数解；多项式；最大公因数 Abstract It is based on the integer matrix of elementary row(or column) in this paper. To solve the Diophantine equation is given, find the greatest common factor of several integers and the least common multiple of polynomial greatest common factor of several methods. This method is verified through specific example. The method of calculating process is simple, has practical significance in the field of mathematical research. Key words：matrix; elementary transformation; Diophantine equation; integer solution; polynomial; greatest common factor 目录 中文摘要 I Abstract I 引言 1 1. 符号说明 1 2. 基本概念 1 3.求整数的最大公因数 3 4.求解线性不定方程 5 5.求整数的最小公倍数 8 6. 求多项式最大公因式，最小公倍式 10 7. 总结 12 参考文献 13 致谢 14 引言 一般而言，在近现代发行的初等数论教材[1-3]中，解一次不定方程大部分依赖于二元一次不定方程的解法，解题过程比较繁琐.本篇文章在引进线性代数中的初等变换这种方法之后，通过对整数矩阵进行初等行（或者列）变换，那么再经过相应的转换就可以得出一个一次不定方程的所有解.同理，求一部分整数的最小公倍数以及最大公约数或者求多项式的最大公因式和最小公倍式，本篇文章都将给出对整数矩阵作初等变换的方法得出所求解的过程. 1. 符号说明 为下文阐述的方便性，先对文章将出现的一些符号加以说明. ；；；设，以表示的最大公约数；设，以表示整除；当时，以表示型整数矩阵集合；设，以表示的转置；表示单位矩阵. 2. 基本概念 定义1 [4] 乘到某一行乘以某一行或者某一列，然后再加到另一行 引理1[] 对一个矩阵做初等行变换，即在的左边乘上初等矩阵；反过来，对作一个初等列变换就是在的右边乘上的初等矩阵. 证明 这里只讨论行变换.设为一个矩阵，是的行向量. 得 ， 特别的，令，得 这相当于把的行与行互换.令，得 这相当于把的行的倍加到行.证毕. 3.求整数的最大公因数 命题1[] 设，则存在可逆矩阵，使得 . 证明 用数学归纳法加以证明. （I）当时，可设，由辗转相除法知 ，，，，， ，，， 于是，令 则，命题成立. （II）假定有，这时命题成立.则当时，由假定可得，必定存在一个阶可逆方阵，使 ，其中， 从而有 . 又由（I）可得，存在一个二阶可逆方阵，使.有，令 ， 则 ， 即当时，命题成立. 由归纳总结法可得，时，命题是成立.证明完毕. 推论1[7] 假设有，而且有不全为0