第三章 数学模型1-微分方程.ppt

例4： 图2-2是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路 。电压 和 分别表示输入量和输出量，试确定这个电路的微分方程式。 解 理想运算放大器正、反相输入端电位相同，且输入电流为零。根据基尔霍夫电流定律有 整理后得 或者为 式中T=RC为时间常数。方程(2-4)和(2-5)就是该系统的微分方程，这是一个一阶系统。 (2-4) (2-5) 例5 :机械位移系统,物体在外力F(t)作用下产生位移y(t)，写出运动方程。 输入F(t)，输出y(t)理论依据:牛顿第二定律,物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积. m F1(弹簧的拉力) F(t)外力 F2阻尼器的阻力 根据牛顿运动定律，系统的运动方程为 或写成 思考：比较表达式(2-3)和(2-7)可以得到什么结论 (2-6) (2-7) (2-3) 相似系统和相似变量 数学模型相同的各种物理系统称为相似系统； 在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称为相似变量。 根据相似系统的概念，一种物理系统研究的结论可以推广到其相似系统中。 可以用一种比较容易实现的系统模拟其他较难实现的系统。 这些都是线性定常二阶微分方程，即这些系统具有相同形式的数学模型。 此类物理性质不同，但具有相同数学模型的系统称为相似系统，在微分方程中对应相同位置的物理量称为相似量。 二阶RC网络： r c c c u u u dt d T T T u dt d T T = + + + + ) ( 3 2 1 2 2 2 1 RLC串联电路： i o o o u u u t d d RC u t d d LC = + + 2 2 弹簧-阻尼-质量系统： F Ky y dt d f y t d d m = + + 2 2 电枢控制式直流电动机： 课程小结 重点掌握机理分析法建立系统的微分方程 1. 电网络系统 2. 机械系统 * * 自动控制原理 第三章 线性系统的数学模型 本章知识点： 线性系统的输入－输出时间函数描述 传递函数的定义与物理意义 典型环节的数学模型 框图及化简方法 引言 定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。 用途： 1）分析实际系统 2）预测物理量 3）设计控制系统 表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程（内部描述） 复域：传递函数（外部描述）、动态结构图 频域：频率特性 线性系统 传递函数 微分方程 频率特性 拉氏 变换 傅氏 变换 建模方法 机理分析法 适用于比较简单的系统 实验辨识法 适用于复杂系统 数学模型的概括性 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。 数学模型表达了这些系统的共性。 数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。 由数学模型确定系统性能的主要途径 求解 观察 线性微分方程 性能指标 传递函数 时间响应 频率响应 拉氏变换 拉氏反变换 估算 估算 计算 傅氏变换 S=jω 频率特性 本章将重点讨论以下几类控制系统模型 微分方程 单位脉冲响应 传递函数 方块图（结构图） 3.1 线性系统的输入-输出时间函数描述 目的：从时间域角度，建立系统输入量（给定值）和系统输出量（被控变量）之间的关系。 两种描述：微分方程描述、单位脉冲响应描述。 线性系统的微分方程描述（机理建模法） SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描述的标准形式 (2-1) 式中 r(t)：系统的输入信号； c(t)：输出信号； ai(i=1,2,…n)和bj(j=0,1,…m)是由系统的结构参数决定的系数。 控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数； 很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分； 这种微分方程又称为动态方程或运动方程； 微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。 列写系统微分方程的步骤 划分不同环节，确定系统输入量和输出量； 写出各环节（元件）的运动方程； 消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变量及其各阶导数的方程； 化为标准形式。 把②代入①，并进行整理得： 解：(1)确定输入输出量和中间变量 r u 输入 c u 输出 r u c u R C i [例1]：写出图示一