第八章 ODE的数值解.ppt

与 格式与改进的 格式可以改写成下面的形式 级 公式 （二） 舍去误差项，便得到 显然，若在区间 内取 个不同的点，记积分曲线 在这 个点上的斜率分别为 ，于是我们可以设 这就是所谓的 级 阶的 公式。其中 都是待定系数，并且有 待定系数 可用比较系数的方法求得。即将 中的 和各 都在 处展成 级数，然后令两端关于别 的不超过 次的同次项的系数相等，便可求得这些待定系数。 下面以 为例，说明待定系数的求法。当 时，由 式有 将 式中的 与 、 分别在 处作 展开，有 称为修正的梯形公式。 注意，这里用到了二元 展开式。将上面的三个展开式代入 中，并令两端 的次数不超过 的项的系数相等，于是得到 若取 ，则可算得 ，这时， 由 式得 称为修正的矩形公式。 以上两个公式，都是在 及 的前提之下构造出来的。因此，它们都是 级 阶的 公式。 若取 ，则可算得 ，由 式得 注意，在上面求待定系数的方程组中，有一个自由参数，故 级 阶的公式有无穷多个。但是，在这些 级 公式中，不可能存在高于 阶的方法。下面，我们给出 级 公式可以达到的最高阶数： 标准 级 阶 公式 依照 级 阶 公式的构造过程，我们可以得到更高级高阶的 公式，其中最常用的就是标准的 级 阶 公式，其形式为： 例 用标准 级 阶 公式求解例 中给出的初值问题，取 。 （三） 解 计算公式如下： 1.732051 1.732140 1.737869 1.0 5 1.612452 1.612513 1.616474 0.8 4 1.483240 1.483281 1.485965 0.6 3 1.34164 1.341667 1.343360 0.4 2 1.183216 1.183292 1.184096 0.2 1 1 1 1 0 0 (精确值) (4阶R-K方法) (2阶R-K方法) 将计算结果列于表 。 将表 与表 的结果相比较，尽管这里步长放大了，但计算的精度却很高，从而出可以看出选择方法的重要意义。 四、 线性多步法 前面介绍的几种方法都是单步法，即在计算时，仅用到它前面一步得到信息 。设想，当通过单步法已经算出 ，如何充分地利用这些信息，在计算 时获得较高精度，这就是多步法的基本思想。 假定仍讨论本章开始给出的一阶微分方程的初值问题 与其等价的积分方程是 前面我们曾使用梯公式，计算 式右端的积分，而得到了改进的 方法。其实，这也可以理解为是用插值点 和 的线性插值函数代替函数 而得到的。由于通常插多项式的次数越高越精确，所以使我们试图用高次插值多项式代替 ，来得到高精度的计算方法。 今取 和 为插值节点，这时的插值多项式为 * * 在许多科学技术问题中，常常需要求解常微分方程的定解问题，这类问题中最简单的数学形式是求函数满足一阶方程的初值问题 第七章 常微分方程初值问题的数值解法 我们假定 满足解的存在唯一性定理条件，即要求 适当光滑—譬如关于