第四章 代数系统.ppt

置换群 S3={(1),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)} S3,?的运算表 4.12 环 设G, ?,*是代数系统, ?与*是二元运算,如果 (1) G, ?是交换群; (2) G, *是半群(封闭与可结合); (3) 半群运算符*对群运算符?可分配。 则G, ?,*是环！ 如R,+,* 是环！ R是普通的实数,+是普通的加法，*是普通的乘法 R,+封闭、可结、单位元,逆元为相反数、交换 R,*封闭、可结合 x*(y+z)=x*y+y*z 故将G, ?,*记为 G, +,*交换群运算加,半为乘 4.12 环 设G, ?,*是代数系统, ?与*是二元运算,如果 (1) G, ?是交换群; (2) G, *是半群(封闭与可结合); (3) 半群运算符*对群运算符?可分配。 则G, ?,*是环！ 如{0,1,2,3…,n-1}, ?, ? 是环！ x?y=(x+y)%n x?y=(x?y)%n 除n余均0~n-1 Zn, ? 封闭、可结、0,和为n、交换 Zn, ? 封闭、可结合 x?(y ? z)=x ? y ? y ? z (y ? z)=(x+y)%n x?(y ? z)=(x*(y+z)%n)%n=(x*y+x*z)%n=x?y?y?z 4.12 环 设G, ?,*是代数系统, ?与*是二元运算,如果 (1) G, ?是交换群; (2) G, *是半群(封闭与可结合); (3) 半群运算符*对群运算符?可分配。 则G, ?,*是环！ 故将G, ?,*记为 G, +,*交换群运算加,半为乘 将交换群的“加法”单位元记为0， 半群的若有“乘法”单位元记为1， 加法中的逆元为相反数，记为-x，称为负元。 乘法中的逆元若存在，则记为x-1，仍称逆元。 4.12 环—整环 设G, +,*环 (1) G,*半群即乘法运算*可交换则为交换环; (2) G, *半群即乘法运算*有单位元则含幺环； (3)?a,b?R,a*b=0?a=0或b=0则称G无零因子。 (4)环是交换环、含幺环、无零因子则称为整环 半群运算有单位(独异点)、可交换、无0因子。 (5)若G是整环，G中至少有2个元素{0,a}， 若?a?G-{0},a在乘法运算下有逆元则为域！ G,+是群，G-{0},*是群！*可交与无0因子！ R,+与R-{0},*群*对+分、*可交、无0实数域 4.12 环—整环 设G, +,*环 (1) G,*半群即乘法运算*可交换则为交换环; (2) G, *半群即乘法运算*有单位元则含幺环； (3)?a,b?R,a*b=0?a=0或b=0则称G无零因子。 (4)环是交换环、含幺环、无零因子则称为整环 半群运算有单位(独异点)、可交换、无0因子。 (5)若G是整环，G中至少有2个元素{0,a}， 若?a?G-{0},a在乘法运算下有逆元则为域！ G,+是群，G-{0},*是群！*可交与无0因子！ Q,+与Q-{0},*群*对+分、*可交、无0有理域 子群 (1)子群判断定理一：设G为群, ??H?G, H是G的子群? (i)?a,b?H,有a?b?H(封闭) (ii) ?a?H,有a-1?H(逆元) (2)子群判断定理二:G为群, ??H?G, H是G的子群? ?a,b?H,有a?b-1?H (3)子群判断定理三:G为群, ??H?G, |H|有限,H是子群??a,b?H,有a?b?H(只要封闭即可) 证明:左?右显然! 右?左:由Th1只需要证逆元存在即可. ?b?H (i)若b=e?H, 而母群G中e?e=e可知e-1=e,而e?H故e-1?H. (ii)若b?e,由封闭性?b2=b?b?H即b2?H,故b3=b2?b?H ?S={b,b2,b3,…,bk,…}?H ?|S|?|H|,而|H|有限?S有限,bi肯定与bj相等!否则无穷了! ?bi=bj(ij)?bj?bi-j=bj?e,根据G中消去律?bi-j=e,而 b?e ?i-j1?bi-j-1b=bbi-j-1=e ?bi-j-1是b的逆元，即b-1=bi-j-1, 而bi-j-1?S?H，故bi-j-1?H，即b-1?H 子群 子群判断定理： (1)?a,b?H,有a?b?H(封闭),有a-1 ?H(逆元封闭)。 (2)?a,b?H,有a?b-1?H (混后封闭) (3)|H|有限,H是子群??a,b?H,有a?b?H(封闭) 例题:设G, ?是群,令H={ak|a?G,k?Z}则H是G循环子群. 解:在H中任取二个元素,则可以分别记为am,al, 则am?(al)-1在群G中,可以进行幂运算 am?(al)-1= am?(a-l)=am-l?H, 由Th2可知,H是子群!