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第四章数值积分与数值微分 数值积分 几个简单公式 代数精度 举例 举例 代数精度 插值型求积公式 插值型求积公式 收敛性 稳定性 求积公式余项 举例 * * 数值分析及计算软件 4.1 数值积分的基本思想 数值分析及计算软件 Chap 4 数值积分与数值微分 Newton-Leibniz： (3) f (x) 表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表 但是在许多实际计算问题中 (2) F(x) 难求！甚至有时不能用初等函数表示。 如 (1) F(x) 表达式较复杂时，计算较困难。如 矩形公式 梯形公式 中值定理： 数值积分公式的一般形式 求积节点 求积系数 机械求积方法 一般地，用 f(x) 在 [a, b] 上的一些离散点 a ? x0 x1 ··· xn ? b 上的函数值的加权平均作为 f (?) 的近似值，可得 定义：如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，公式 精确成立，但对某个次数为 m +1 的多项式不精确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度 将 f (x) = 1, x, x2, … , xm 依次代入，公式精确成立; 但对 f (x) = xm+1 不精确成立。即： ( k = 0, 1, … , m ) 代数精度的验证方法 例：试确定 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度 解： 将 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 代入求积公式，使其精确成立，得 … … 存在唯一解： 所以求积公式为： 具有至少 n 阶代数精度 例：试确定系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。 解： 将 f (x)＝1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立，可得 解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求积公式为 易验证该公式对 f (x)＝x3 也精确成立，但对 f (x)＝x4 不精确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。 容易验证： 左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代数精度 中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代数精度 特别地，任意具有 m ( ?0 ) 次代数精度的求积公式一定满足： 设求积节点为：a ? x0 x1 ··· xn ? b 若 f (xi) 已知，则可做 n 次多项式插值： 其中 插值型求积公式 误差： 其中 当 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 时，有 即公式精确成立 性质：插值型求积公式 定理：下面的求积公式具有至少 n 次代数精度的充要条件是该公式是插值型的 具有至少 n 次代数精度 定义：如果求积公式 满足 则称该求积公式是 收敛的。 设求积节点为：a ? x0 x1 ··· xn ? b ，令 ?xi = xi –xi-1 定义：对 ?? 0，若存在 ? 0，使得当 ( i = 0, 1, … , n) 时，有 则称该求积公式是 稳定的。 定理：积分系数都为正的求积公式必是稳定的 性质：若求积公式的代数精度为 m，则余项为 其中 K 为待定系数，但与 f (x) 无关 如何确定 K 的值？ 将 f (x) = xm+1 代入可得