第四章-4-Gauss公式.ppt

Gauss 型求积公式 举例 Gauss 型求积公式 Gauss 点 Gauss 点 Gauss 点 Gauss 公式 举例 举例 Gauss公式余项 Gauss G-L 公式 简单 G-L 公式 简单 G-L 公式 更多 G-L 公式 G-L公式余项 G-L 公式 举例 G-C 公式 G-C 公式 简单 G-C 公式 举例 几点注记 作业 * * 数值分析及计算软件 Chap 4 数值积分与数值微分 4.1 Gauss公式 考虑机械求积公式 含 2n+2 个参数 (节点与系数), 为了使该公式具有尽可能高的代数精度, 可将 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入公式, 使其精确成立, 则可构造出代数精度至少为 2n+1 的求积公式! 这类求积公式称为Gauss 求积公式 例：试确定节点 xi 和系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。 解： 将 f (x)＝1, x, x2, x3 代入求积公式，使其精确成立，可得 易验证该公式对 f (x)＝x4 不精确成立， 所以此求积公式具有 3 次代数精度。 非线性方程组 求解较困难 一般情形: 考虑机械型带权求积公式 定义：若存在节点 xi ?[a, b] 及系数 Ai ，使得上面的求积公式具有 2n+1 次代数精度，则称节点 xi 为高斯点，Ai 为高斯系数，求积公式为 高斯型求积公式 性质：上面的求积公式至多具有 2n+1 次代数精度 Gauss 公式在所有机械求积公式中代数精度最高 Gauss 公式是最理想的数值求积公式！ Q:如何计算Gauss点 xi 和 高斯系数 Ai 法一: 解非线性方程组 太困难! ? 法二: 分开计算 先确定 Gauss 点 再通过解线性方程组计算 Gauss 系数 笨办法! ? 巧方法! 定理：节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是 Gauss点的充要条件是：多项式 与任意次数不超过 n 的多项式 p(x) 关于权函数 ?(x) 正交，即 且高斯系数 Ai 为 其中 li(x) 为以 xi 为节点的 Lagrange 基函数。 证明： x0 … xn 为 Gauss 点 设 p(x)?Hn ，则 p(x)?n+1(x) ?H2n+1 “?” 设 代数精度为 2n+1 要证 xi 为 Gauss 点，即公式对 ? p(x)? H2n+1精确成立 “?” p(x), r(x)?Hn 设 p0(x), p1(x), ?, pn(x) , ? 是 [a, b] 上带权 ?(x) 正交的多项式族，则 Gauss 点即为 pn+1(x) 的零点 Gauss 点的计算 求出 ?n+1(x) 的表达式 计算其零点 与 1, x, x2, ..., xn 带权正交 Gauss 系数的计算 将 f (x) = 1, x, x2, …, xn 代入，解线性方程组 或利用 Lagrange 基函数 关键点！ 例：试确定节点 xi 和系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度。 解： 易知 是 [0, 1] 上的权函数 具有最高代数精度的机械求积公式是 Gauss 型公式 设 节点 x0 , x1 是 Gauss点 ?2(x) 与 1, x 带权正交 令 ?2(x) = 0, 解得 Gauss点! 将 f (x)＝1, x 代入求积公式，使其精确成立，可得 求积公式为 定理 Gauss公式的余项为 其中 证明关键：Hermite插值 可以证明：当 a, b 为有限数，且 f (x) ?C[a, b] 时 Gauss 型公式是收敛的 令 Gauss 型公式是稳定的 公式收敛性与稳定性 积分区间: [-1, 1] 权函数: ?(x) = 1 Gauss-Legendre 求积公式 Gauss 点 = Legendre 多项式 pn+1(x) 的零点 G-L 求积公式: n =0 时, G-L 求积公式: Gauss 点: 将 f (x)＝1 代入求出 A0 n =1 时, 两点 G-L 求积公式: Gauss 点: 将 f (x)＝1, x 代入 求出 A0 , A1 n =2 时, 三点 G-L 求积公式: Gauss 点: 当 n 3 时，可用数值方法计算 Pn+1(x) 的零点 0 0 0 ?0 ?0 ?06 5 0.2369269 0.4786287 0.5688889