第四章N-C公式4.5.ppt

第四章 数值积分与数值微分 Newton-Cotes公式 Simpson公式及其余项 Cotes系数为 求积公式为 上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为 Simpson公式的余项为 Simpson公式具有3次代数精度 Cotes公式及其余项 Cotes系数为 求积公式为 上式称为Cotes求积公式，也称五点公式 记为 Cotes公式的余项为 Cotes公式具有5次代数精度 思考 使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes 公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至 少具有n+1次代数精度. 考察Cotes系数 因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由 其值可以精确给定 记 而理论值为 定义2 在机械求积公式中，若 其中 则称机械求积公式是收敛的。 使用机械求积公式计算 得到的近似值记为 记 为误差 舍入误差 充分小 这表明求积公式计算是稳定的。 定义3 对任给 只要 成立，就称机械求积公式是稳定的。 若 就有 定理2：若机械求积公式中的系数 则此求积公式是稳定的。 证： Haven’t we had enough formulae? What’s up now? Oh come on, you don’t seriously consider h=(b?a)/2 acceptable, do you? Why can’t you simply refine the partition if you have to be so picky? Don’t you forget the oscillatory nature of high- degree polynomials! Uh-oh 4.3 复化求积公式 直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大 公式的舍入误差又很难得到控制 为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复化方法 然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式 最后将每个小区间上的积分的近似值相加 ? 复化 Simpson 公式： 4 4 4 4 4 = Sn 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 这时 ，有 复化求积公式的余项和收敛的阶 我们知道,三个求积公式的余项分别为 单纯的求积公式 复化求积公式的每个小区间 则复合梯形公式的余项为 由于 即有 例 用复化Simpson公式计算积分 的近似值， 并估计误差。（取n=5） 解：n=5，h=(1-0)/n=0.2，节点列为 则复化Simpson公式为 截断误差估计： 例1 对于函数f(x)=sinx/x，给出n=8的函数表，试用复化梯形公式和复化辛普森公式 计算积分 1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f(x) x 解 将积分区间[0,1]划分为8等分，用复化梯形公式求得 而将积分区间[0, 1]划分为2×4等分，用复化辛普森公式求得 比较上面两个计算结果T8与S4，它们都需要提供9个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分准确值I=0.9460831比较，应用复化梯形公式计算的结果T8=0.9456909只有2位有效数字，而应用复化辛普森公式计算的结果S4= 0.9460832却有6位有效数字. 为了利用余项公式估计误差，要求f(x)=sinx/x的高阶导数，由于 所以有 于是 复化梯形公式误差为 复化辛普森公式误差为 例2 利用复化梯形公式计算 使其误差限为0.5*10-6，应将区间[0, 1]几等分? 解 利用例1的结果 取n=236可满足要求. 由复化梯形公式的余项得 6 因此只需将区间[0, 1]四等分，即取9个点 n3.4 取n=4 使用复合Cotes公式，只需要将区间1等分，即四小等分，五个点。 * 微积分学--- “人类精神的卓越胜利” 微积分就是微分运算和积分运算这两种互逆运算方法的合称，就像加法与减法，乘法与除法是互逆运算一样，但微积分的运算法则要比加减乘除，乘方，开方等运算复杂得多，现在已成为高等数学的核心内容。  为什么要数值积分